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1、2023-2024学年广东省珠海市六校高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=(m+2)+(m+1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A. (2,1)B. (,2)(1,+)C. (1,+)D. (,2)2.在ABC中，若BA=a，BC=b，则CA=()A. aB. a+bC. baD. ab3.已知向量a=(2,4)，b=(m,6)，且a/b，则实数m的值为()A. 3B. 3C. 8D. 124.已知向量a=(3,1)，b=(2k-1,k)，且(a+b)a，则k的值是()A.
2、 -1B. 37C. -35D. 355.已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于()A. 7B. 10C. 13D. 46.已知a,b,c为非零平面向量，则下列说法正确的是()A. (ab)c=a(bc)B. 若ac=bc，则a=bC. 若a/b，则R,b=aD. |ab|=|a|b|7.在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，A=3，b=2，c=8，则a2b+csinA2sinB+sinC值等于()A. 16 33B. 4 3C. 4 393D. 52 338.在等边三角形ABC的三边上各取一点D，E，F，满足DE=3,DF=2 3,DEF=90，则三角形ABC
3、的面积的最大值是()A. 7 3B. 13 3C. 73 3D. 133 3二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,2),b=(3,4)，则()A. (a+b)aB. (ba)/bC. |a+b|=20D. 与向量a同向的单位向量是( 55,2 55)10.已知复数z的共轭复数为z，则下列说法正确的是()A. z+z一定是实数B. zz一定是实数C. zz一定是纯虚数D. z2=|z|211.已知点O是ABC的重心，则下列说法中正确的有()A. OA+OB+OC=0B. AO=13(AB+AC)C. AO=12(AB+AC)D. OB
4、+OC=16(AB+AC)12.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是()A. 若a2+c2b20，则ABC为锐角三角形B. 若ABC为锐角三角形，则sinAcosBC. 若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形或直角三角形D. 若c=acosB，则ABC是直角三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.复数z满足z=3+4ii，则z的虚部为_，|z|= _14.已知平面向量a=(2m1,2)，b=(2,3m2)，且ab，则|2a3b|=_15.已知平面向量a与b的夹角为3，若|a|=1，b=(1,2)，则a在b上的投影向量的坐标为_16.在
5、ABC中，AB=2，C=3，则ABAC的最大值为_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)已知复数z1=1+ai(其中aR且a0，i为虚数单位)，且z12为纯虚数(1)求实数a的值；(2)若z2=z11+i+2，求复数z2的共轭复数18.(本小题12分)如图，已知A(2,1)，B(1,3)(1)求线段AB的中点M的坐标；(2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标19.(本小题12分)如图，斜坐标系xOy中，e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且e1,e2的夹角为60，定义向量OP=xe1+ye2在斜坐标系xOy中的
6、坐标为有序数对(x,y)，记为OP=xe1+ye2=(x,y).在斜坐标系xOy中完成下列问题：(1)若a=(2,3)，b=(2,1)，求ab；(2)若c=(x0,y0)，求|c|20.(本小题12分)如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达).若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60，那么此时A，B两点间的距离是多少？21.(本小题12分)在平面直角坐标系中，设向量p=(cosA,sinA)，q=(sinB,cosB)，其中A，B分别是ABC的两个内角(1)若p/q，求C的值；(2)若pq=sin2C，AB=2，求ABC的面积的最大值22.
7、(本小题12分)某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向释放机器人甲，同时在A处按AQ方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域ABCD内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败.已知AB=6米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记EP与EB的夹角为(0)，AQ与AB的夹角为(00m+10，解得2m1实数m的取值范围是(2,1)，故选：A2.【答案】D【解析】解：CA=CB+BA=b+a=ab；故选：D根据平面向量的加减法运算，利用三角形法则得到所求本题考查了平面向量的加减法运算；属于基础题3.
8、【答案】A【解析】解：a/b，4m+12=0，解得m=3故选：A根据平行向量的坐标关系即可求出m的值本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题利用向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：a+b=(2k+2,k+1)，(a+b)a，(a+b)a=3(2k+2)+k+1=0，解得k=1故选：A5.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的数量积，向量的模的计算，属于基础题由题意并且结合平面数量积的运算公式可得ab=12，再根据|a3b|= (a3b)2可得答案【解答】解：因为a与b均为单位向量，
9、它们的夹角为60，所以ab=|a|b|cos60=12，又因为|a3b|= (a3b)2= a2+9b26ab，所以|a3b|= 7故选：A6.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，根据平面向量数量积的定义知(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，所以选项A错误；对于B，ac=bc时，a与b不一定相等，如ab和bc时它们的数量积为0，a、b不相等，所以选项B错误；对于C，根据平面向量的共线定理知，若a/b，则R，使b=a，所以选项C正确；对于D，根据平面向量数量积的定义知，ab=|a|b|cos，所以|ab|a|b|，选项D错误故选：C根据平面向量共线定理和数量积的定义，依次分
10、析选项，综合即可得答案本题考查了平面向量共线定理和数量积的定义应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题7.【答案】C【解析】解：由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=4+6422812=52，解得a=2 13.设ABC外接圆半径为R，则a2b+csinA2sinB+sinC=2RsinA4RsinB+2RsinCsinA2sinB+sinC=2R=asinA=2 13 32=4 393故选：C先由余弦定理求得a=2 13，再由正弦定理求解即可本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属基础题8.【答案】A【解析】解：由题意，DEF为直角三角形，且DE=3，DF=2 3，cosEDF=DEDF
11、= 32，即EDF=6，令BDE=，ABC是等边三角形，B=A=3，则BED=BBDE=23，FDA=EDFBDE=56，DFA=FDAA=6，在BDE中，由正弦定理得DEsinB=BDsinBED，即BD=2 3sin(23)，在ADF中，由正弦定理得DFsinA=ADsinDFA，即AD=4sin(6)，即AB=AD+BD=4( 32sin12cos)+2 3( 32cos+12sin)=3 3sin+cos=2 7sin(+)，则ABmax=2 7，此时ABC面积最大，最大面积为12 32(2 7)2=7 3故选：A由题意得到EDF=6，令BDE=，分别得到BED，FDA和DFA，在BD
12、E和ADF中，利用正弦定理和三角函数的恒等变换即可求解本题考查了正弦定理和三角函数的综合应用，属于中档题9.【答案】AD【解析】解：向量a=(1,2),b=(3,4)，a+b=(4,2)，(a+b)a=44=0，(a+b)a，故A正确；ba=(2,6)，2364，(ba)与b不平行，故B错误；|a+b|= 42+22=2 5，故C错误；对于D，与向量a同向的单位向量是a|a|=1 5(1,2)=( 55,2 55)，故D正确故选：AD利用向量坐标运算法则、向量垂直、向量平行、单位向量的定义直接求解本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量垂直、向量平行、单位向量的定义等基础知识，考查运算求
13、解能力，是基础题10.【答案】AB【解析】解：复数z的共轭复数为z，设z=a+bi，a、bR，则z=abi，z+z=2a，为实数，故A正确zz=a2+b2=|z|2为实数，故B正确zz=2bi，可能是实数也可能是纯虚数，故C错误z2=a2b2+2abi，z2=a2+b22abi，故D不正确故选：AB由题意，利用共轭复数的定义和性质，得出结论本题主要考查共轭复数的定义和性质，属于基础题11.【答案】AB【解析】解：已知点O是ABC的重心，如图记D为BC中点，连接OA，OB，OC，OD，则O为AD靠近点D的三等分点，对于A选项：在OBC中，因为D是BC的中点，所以OB+OC=2OD,OA=2OD，所以OA+OB+OC=0，故A选项正确；对
