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1、 抛物线与圆综合题（类似49题）1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4，），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x4）2（a0）抛物线经过（0，2）a（04）2=2解得：a=y=（x4）2即：y=x2x+2当y=0时，x2x+2=0解得：x=2或x=6A（2，0）
2、，B（6，0）；（2）存在，如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小B（6，0），C（0，2）OB=6，OC=2BC=2，AP+CP=BC=2AP+CP的最小值为2；（3）如图3，连接MECE是M的切线MECE，CEM=90由题意，得OC=ME=2，ODC=MDE在COD与MED中CODMED（AAS），OD=DE，DC=DM设OD=x则CD=DM=OMOD=4x则RtCOD中，OD2+OC2=CD2，x2+22=（4x）2x=D（，0）设直线CE的解析式为y=kx+b（k0），直线CE过C（0，2）
3、，D（，0）两点，则解得：直线CE的解析式为y=+2；6如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，4），M是ABC的外接圆，M为圆心（1）求抛物线的解析式；（2）求阴影部分的面积；（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQx轴交BC于Q，设PQ=k，CPQ的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值解：（1）由抛物线经过A（1，0），B（4，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x4），将C（0，4）代入上式中，得4a=4，a=1y=（x+1）（x4）=x23x4（2）A（1，0），B（4，0），C（0，4）OB=OC=4，OA=1OBC=45，AMC=
4、90AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17AM2=CM2=，S阴影=（3）OBC=45，PQx轴；BP=PQ=k，S=k（4k）=k2+2k当k=2时，Smax=27已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的
5、面积取得最小值时，求点E的坐标解：（1）抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点，解得：，y=x2x+3；点C的坐标为：（0，3）；（2）假设存在，分两种情况：当PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且PAB=90，如图1，过点B作BMx轴于点M，设D为y轴上的点，A（3，0），B（4，1），AM=BM=1，BAM=45，DAO=45，AO=DO，A点坐标为（3，0），D点的坐标为：（0，3），直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：0=3k+b，b=3，k=1，y=x+3，y=x2x+3=x+3，x23x=0，解得：x=0或3，y=3，y=0（不合题意舍
6、去），P点坐标为（0，3），点P、C、D重合，当PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且PBA=90，如图2，过点B作BFy轴于点F，由（1）得，FB=4，FBA=45，DBF=45，DF=4，D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：1=4k+b，b=5，k=1，y=x+5，y=x2x+3=x+5，x23x4=0，解得：x1=1，x2=4（舍），y=6，P点坐标为（1，6），点P的坐标为：（1，6），（0，3）；（3）如图3：作EMAO于M，直线AC的解析式为：y=x3，tanOAC=1，OAC=45，OAC=OAF=45，ACAF，SFEO=OEOF，OE最小时SFEO最小，OEAC时OE最小，ACAFOEAFEOM=45，MO=EM，E在直线CA上，E点坐标为（x，x+3），x=x+3，解得：x=，E点坐标为（，）
