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1、第一讲：集合集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略一一分类思想 的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集 合、子集与划分问题的方法。1 .集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：(1) 确定性 设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两 者必居其一，即a A与a A仅有一种情况成立。(2) 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象，即同一个集合中不应出现同一个元素 .N,Z,Q, R应熟(3) 无序性主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法
2、。常用数集如: 记。2 .实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。3 .子集、真子集及相等集(1) A B A B 或 A = B ;(2) A B4 一个n阶集合(即由个元素组成的集合)有(3) A = B2n个不同的子集，其中有2n - 1个非空子集，也有 2n - 1个真子集。5.集合的交、并、补运算A B=x|x A且 x BA B = x | x A或 x BA x | x I 且 x A要掌握有关集合的几个运算律:(1)交换律AB = B A,AB = BA;(2)结合律A(BC )=(AB
3、)C ,A(BC )=(AB)C ；(3)分配律A(BC )=(AB)(AC )A(BC )=(AB)(AC )(4)0 1律A=A, AI =AAI =I , A=(5)等幂律AA =A, AA =A(6)吸收律A(AB)= A,A(AB)=A(7)求补律AA =I , AA =(8)反演律A B A B,A BAB6有限集合所含元素个数的几个简单性质设 n( X ) 表示集合 X 所含元素的个数(1) n(A B) n(A) n(B) n(A B)当 n(A B) 时， n(A B) n( A) n(B)(2) n( A B C) n(A) n(B) n(C) n( A B) n( A C
4、) n(B C) n( A B C)7映射、一一映射、逆映射(1) 映射 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合 A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合 A到集合B的映射，记作f :A t B。上述映射定义中的 A、B，可以是点集，数集，也可以是其他集合。和A中元素a对应的B中的元素b叫做a (在f下)的象，a叫做b的原象。A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的。(2) 一一映射 设A、B是两个集合，f : At b是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，那么
5、这个映射叫做 A到B上的映射。(3) 逆映射 设f : At b是集合A到集合B上的一一映射，如果对于 B中的每一个元素b，使b在A中的原象a和它对应，这样所得映射叫做映射f : A t B的逆映射，记作f 1: B t A。注意：只有一一映射，才有逆映射。 要能够根据这三个概念的定义，准确地判断一个给定的对应是不是映射，是不是一一映射，并能求 出一一映射的逆映射。解题指导元素与集合的关系221设 A = a|a = x y ,x,y Z ，求证：(1) 2k 1 A(k Z )；( 2) 4k 2 A (k Z)分析：如果集合A = a|a具有性质p，那么判断对象a是否是集合 A的元素的基本
6、方法就是检验a是否具有性质 p 。解：(1)v k,k 1 Z 且 2k 1 = k2 (k 1)2，故 2k 1 A ；(2)假设 4k 2 A (k Z)，则存在 x, y Z，使 4k 2 = x2 y2即(x y)(x y) 2(2k1)(*)由于x y与x y具有相同的奇偶性，所以(*)式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，(*)式右边只能被4除余2的数，故(*)式不能成立。由此， 4k 2 A (k Z)。332设集合 A =(- 3, 2)。已知 x, y N , x y,x 19y y19x ,判断a = log 1 (x y)与集合A的关系。2分析：解决本题的关键
7、在于由已知条件确定x y的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定a =log 1 (x y)的范围。2解：因为 x3y3 19(x y)且 x, y N , x y，所以2 2 2 2x x v x xy y 19 3x由此及x N得x=3,从而y=2.所以一3v a = log 1 (3 2) log1 52,即 a A。2 23以某些整数为元素的集合P具有下列性质： P中的元素有正数，有负数；P中的元素有奇数，有偶数；一1 P ;若x , y p ,则x + y P试判断实数0和2与集合P的 关系。解：由若x , y P,则x + y P可知，若x P，则kx P (k N)(1 )由可设
8、 x , y P，且 x 0, y v 0,则一yx = | y |x (| y | N )故 x y , - y x P，由,0= ( y x)+ x y P。(2) 2 P。若2 P，贝U P中的负数全为偶数，不然的话，当一( 2k 1 ) P ( k N )时，一1 = (2k 1)+ 2k P，与矛盾。于是，由知 P中必有正奇数。设 2m,2n 1 P (m, n N)，我 们取适当正整数q，使q | 2m | 2n 1，则负奇数 2qm (2n1) P。前后矛盾。4.设S为满足下列条件的有理数的集合：若a S, b S，贝U a + b S,ab S ；对任一个有理数r，三个关系r
9、S , r S, r = 0有且仅有一个成立。证明： S是由全 体正有理数组成的集合。证明：设任意的r Q , r工0,由知r S，或一r S之一成立。再由，若 r S，贝U r2 S ；若r S，则 r2( r) ( r) S。总之，r2 S。取r=1，贝y 1 S。再由，2=1 + 1 S , 3=1+2 s,，可知全体正整数都属于S。1p1设p,q S，由pq S，又由前证知 S，所以 pq 2 S。因此，S含有全体正有理qq q数。再由知，0及全体负有理数不属于 S。即S是由全体正有理数组成的集合。两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这
10、三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系 入手。25.设函数 f(x) x ax b (a,b R)，集合 A x|x f(x),x R, B x|x ff (x), x R。(1) 证明：A B ;(2) 当 A 1,3时，求 B o(3) 当A只有一个元素时，求证： A B .解：(1)设任意 x0 A，则 x0 = f (x0).而 f f (x0)f (x0) x0故X0 B，所以A B .(2)因 A 1,3，所以(1)32 aa ( 1)3 b 3b1解得a1,b3故 f (x)2x x3 o由xff(x)得
11、(x2 x2 / 23) (xx3)x 30解得 x1,3,.3B = 1,3, 3，-. 3 o6. S1, S2, S3为非空集合，对于1, 2, 3的任意一个排列i, j, k，若x Sj, y Sj，则x y Sk(1 )证明：三个集合中至少有两个相等。(2 )三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：(1)若x Si, y Sj，则y x Sk,(y x) y x S所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设S1,S2,S3中的最小正元素为 a ,不妨设a S1，设b为S2,S3中最小的非负元素，不妨设b S2,则 b a S3 o若b 0,则o
12、w b a v b，与b的取法矛盾。所以b =0。任取 xS1,因 0 S2,故 x 0 = x S3。所以S-iS3，同理S3S)。所以Si = S3。解：(A B) C = (AC)(B C)。A C 与 BC分别为方程组(I) a2x y2 1x y 1x(n) 2xay 1y2 1的解集。由(I)解得(x,y)=(o, i)2);由(n)解得a(x,y) = (1, 0), (11 aa )1a2(1 )使(AB) C恰有两个元素的情况只有两种可能:2a- 21 a21 a1 a22a 2 11 a21 a1 a2由解得a=0 ；由解得a=i。故a=0或1时，(A B) C恰有两个元素
13、。(2)使(A B) C恰有三个元素的情况是:2a1 a22 a2 a解得a12 , 故当a 142时，(AB) C恰有三个元素。(3)可能。例如S1 =S2 =奇数 , S3 =偶数显然满足条件，S1和S2与S3都无公共兀素。7 已知集合:A ( x, y) | ax y2 21, B (x,y)|x ay 1, C ( x, y) | x y 1问(1 )当a取何值时，(A B) C为含有两个兀素的集合？(2 )当a取何值时，(A B) C为含有三个元素的集合？8.设n N且n 15, A,B都是1 , 2, 3,，n真子集，A B ，且A B =1 , 2, 3，n。证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数。证明：由题设，1 , 2, 3,，n的任何元素必属于且只属于它的真子集A,B之一。假设结论不真，则存在如题设的 1 , 2, 3，n的真子集A,B，使得无论是 A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。不妨设1 A，贝U 3 A，否则1+3= 22，与假设矛盾，所以 3 B。同样6 B，所以6 A，这时210 A ,，即10 B。因n 15,而15或者在A中，或者在 B中，但当15 A时，因1 A , 1+15=4 , 矛盾；当15 B时，因10 B，于是有10+15= 52，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立
