《特级教师高考数学首轮复习第37讲-空间几何体的表面积与体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特级教师高考数学首轮复习第37讲-空间几何体的表面积与体积（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、知识结构二、重点叙述1. 空间几何体的表面积： (1)求空间几何体表面积的方法:沿多面体的棱或旋转体的母线剪开,把它们展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求立体图形的表面积。将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题基本的、常用的方法.(2)具体步骤:先求侧面积,再求全面积。棱柱、棱锥、棱台的侧面积:棱柱的侧面展开图是平行四边形;棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的;棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的。圆柱、圆锥、圆台的侧面积: 圆柱侧面积:圆柱的侧面展开图是一个矩形。如果圆柱的底面半径为r,母线长l,那么圆柱的侧面面积为2rl。因此,圆柱的表面积S=2r2 +2rl=2
2、r(r+l)。 圆锥侧面积:圆锥的侧面展开图是一个扇形。如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,那么圆锥的侧面积为。因此,圆锥的表面积S=r2 +rl=r(r+l)。圆台侧面积:圆台的侧面展开图是一个扇环。如果圆台的上下底的半径分别为,母线长为l,那么圆台的侧面积为。因此,圆台的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积,即S=(r2 +r2 +rl+rl).圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系: 圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体。圆柱可以看作是上下底面全等的圆台,圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台,于是:S圆柱表 =2r(r+l)S圆台表 =(r1 l+r2 l+r1 2 +r2 2 )S
3、圆锥表 =r(r+l).即圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来。2. 空间几何体的体积： (1)柱、锥、台的体积:柱体体积:柱体的体积是V=Sh,其中S是底面面积,h为柱体的高。特别地,棱长为a的正方体的体积V=a3 ;长、宽和高分别为a,b,c的长方体的体积为V=abc;底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=r2 h。椎体体积:锥体的体积是V=,其中S是底面面积,h为锥体的高。特别地,底面半径为r高为h的圆锥的体积是V=。台体体积:由于台体是由椎体截成的,因此可以利用两个锥体的体积差,得到台体的体积公式V=(S+S)h,其中S,S分别为上、下底面面积,h为台体的高。特别地,
4、底面半径为高为h的圆台的体积是V=。柱体、椎体、台体体积的关系:柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体。当S=0时,台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S=S时,台体的体积公式变为柱体的体积公式,因此,柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式。它们之间的体积关系为:(2)球的体积和表面积:一般地,如果球的半径为R,那么球的体积为V=,表面积为S=4R2 。3. 简单组合体的表面积和体积： 将简单组合体分解化归柱、锥、台、球等常见的简单几何体,依所分解的柱、锥、台、球等常见的简单几何体的侧面积、全面积、体积公式计算,进而组合而得到所求简单组合体的
5、表面积或体积。三、案例分析案例1：（2009宁夏海南理11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（）（A）48+12（B）48+24（C）36+12（D）36+24分析：先根据棱锥的三视图画成棱锥的直观图，进而计算棱锥每个面的面积，相加算得棱锥的全面积。注意棱锥三视图的高是棱锥的高，并不一定是棱锥侧面三角形的高，而计算棱锥的侧面积一定要求得棱锥侧面三角形的高。解：由棱锥的三视图得棱锥的直观图如下：取中点，连接，同理取中点，连接，。，。故选A。案例2：（2009全国理15）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O
6、的表面积等于_ 分析：要求球的表面积，关键是求得球的半径。抓住如图的球截面，显然，垂足为，解直角求得半径。解：如图，设球O的半径为。圆C的面积等于，。OA是球O的半径，M是OA的中点，又截面圆C与OA成45角，。在直角中，由勾股定理得，即，解得。球O的表面积为。案例3：（2009辽宁理11）正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为（A）1：1(B) 1：2(C) 2：1(D) 3：2分析：根据空间几何的等体积变换原理，由于G是PB的中点，故。设AC与BD相交于H，则三棱锥DGAC与三棱锥BGAC体积之比等于，从而转化为在底面正六边形ABCDER中解决
7、的问题。解：如图正六棱锥中，G是PB的中点，。三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比等于三棱锥DGAC与三棱锥BGAC体积之比。设AC与BD相交于H，则三棱锥DGAC与三棱锥BGAC体积之比等于。在底面正六边形ABCDEF中，可得。在直角中，于是，即。所以VDGAC 2VBGAC 2VPGAC 。故选C。案例4：(1)一个正三棱锥的高和底面边长都是，则它的表面积为_。(2)如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆柱的表面积为_。分析：(1)如图，按正三棱锥的基本元素之间的内在关系求正三棱锥的表面积；(2)如图，旋转体的关键是轴截面，利用轴截面求得内接圆柱的底面半径和高，就
8、算得圆柱的表面积。解：(1)如图，设正三棱锥的底面中心为，BC的中点为M，底面边长，且高，则。，。所以正三棱锥的表面积为。(2)如图，设圆锥中，底面半径，母线，内接圆柱的半径为，高，则在轴截面中，即，。案例5：（2009安徽理18第二小题）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2。.（II）求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积.分析：关键是找到四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的几何体是什么几何体。四边形ABCD是共同的，因为AE、CF都与平面ABCD垂直，则，所以A、C、F、E共面，那么AF
9、与EC必相交于一点，记为H。于是四棱锥H-ABCD就是四棱锥EABCD与四棱锥FABCD的公共部分。解： 连EB、EC、ED，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE、CF共面，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP平面ABCD，P为垂足。EA平面ABCD，FC平面ABCD，ACFE平面ABCD，从而，。所以四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积为。四、总评(1)计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积时,其空间几何结构是基础,借助直观图分析底面边长、高、侧棱长、斜高等基本量之间的关系。圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算,主要借助其轴截面图形或侧面展开图形。球的表面积和体积计算关键在于求出半径,常常借助大圆的截面解决问题,注意圆的平面几何相关知识的应用。(2)化归转化思想、数形结合思想是解决空间几何问题的重要思想方法。会用等价转化思想方法,把空间几何问题转化为平面几何问题求解,把组合体求积问题转化为简单几何体的求积问题求解。会用等积变换、割补变换、比例变换的方法把复杂的求积问题转化为简单的求积问题求解。
