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1、第28课时 二次函数与一元二次方程【教学目标】1让学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点的关系，由此体会可以利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况2让学生在利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况的过程中体会数形结合这一重要的数学思想【学习指导】高中数学中，函数与方程的思想是体现得比较多的数学思想方法，在高考中也是屡考不爽，已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，常常需要通过抛物线去考查函数的零点、顶点和函数值的正负等等，这是数形结合这一重要的数学思想的最好体现本节重点有两个：一是会用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，二是会用二次函数图
2、象讨论二次方程根的分布问题难点是能否画出符合题意的二次函数的图象【例题精析】例1 求证：作出二次函数的图象，观察图象分别指出x取何值时，y=0 ? y0? 二次函数yax2bxc（a0）与一元二次方程ax2bxc0（a0）之间有怎样的关系？【分析】通过研究本题，让学生理解用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，并体会借助于图形写出一元二次不等式的解集的方法（因为有很多的问题不可避免的会用到一些解一元二次不等式的知识）并体会由特殊到一般的探究问题的思想方法【解法】 (略) 当b24ac0时，二次函数yax2bxc（a0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1x2对应的一
3、元二次方程ax2bxc0（a0）有两个不等实根x1、x2； 当b24ac0时，二次函数yax2bxc（a0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个相等实根x0； 当b24ac0时，二次函数yax2bxc（a0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2bxc0（a0）没有实根【评注】这道习题基本上囊括了本节的内容，让学生自己通过探究得出结论比老师直接给出结论更能够体现新课程的理念例2 已知函数f(x)3xlog2x问：方程f(x)0在区间，1内没有实数解？为什么？【分析】运用解的存在性定理进行判别，只要计算出给定区间的端点函数值即可本题也为利用二次函
4、数图象讨论二次方程根的情况做一个铺垫【解法】 f()3log220，又f(1)=31log2130，函数f(x)3xlog2x的图象是连续曲线，f(x)在区间1,0内有零点，即f(x)0在区间1,0内有实数解【评注】 判断函数在给定区间是否有解，可以运用解的存在性定理进行判别，只要计算出给定区间的端点函数值即可例3关于x的方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围；关于x的方程有两实根在内，求m的取值范围；关于x的方程有两实根在外，求m的取值范围；关于x的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围；【分析】按如图所示列出不等式【解法】令f(x)= 对应抛物线开口向上，
5、方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，等价于f(1)0 , 即 解得 据题意 得 有图知，原命题等价于 令g(x)= ，据题意 得可以解得 【评注】讨论一元二次方程根的分布问题的解题的步骤：1根据条件画出图象；2根据图象写出字母参数必须满足的条件；3解不等式例4若对任意实数均成立，求实数的取值范围【分析】由于对数形结合这一重要的数学思想的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误错解展示1：由题意可得：故所求实数的取值范围是错解展示2：令，则原不等式可化为：， 由，故所求实数的取值范围是【解法】令，由得则题设等价于不等式对一切均成立亦即：在上恒取正值从而有，或故所求实数的取值范围是【评注】 错解
6、1误把原不等式看作是关于的一元二次不等式；而错解2虽通过换元将原不等式化为关于的一元二次不等式，然而却忽略了新变元的变化范围【本课练习】 1函数f(x)=x2+4x+4在区间-4,-1上( )A、没有零点 B有无数个零点 C有两个零点 D有一个零点2方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间( )A(-2,1)BCD3已知f（x）（xa）（xb）2（ab），并且、是方程f（x）0的两个根（），则实数a、b、的大小关系可能是（）AabBabCabDab4不等式（a2）x22（a2）x40对xR恒成立，则a的取值范围是（）A（，2）BC（2，2） D（，2）5已知集合Ax|x25x40与Bx|x
7、22axa20，aR，若ABA，求a的取值范围6已知函数的图像与轴的交点在原点的右侧，试确定实数的取值范围7二次函数f（x）ax2bxc（abc），f（1）0，（1）求证：两函数f（x）、g（x）的图象交于不同两点A、B；（2）求线段AB在x轴上射影长的取值范围附答案 1D（点拨：函数yf (x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点,而函数f(x)=x2+4x+4在区间-4,-1上与横轴的交点的横坐标为-2，故它有有一个零点，且为不变号零点）2B（点拨：根据解的存在性定理进行判别）3A 本题采用数形结合法，画出函数图象加以解决即可4B 5A1，4，ABA，BA若B，即x22axa20恒
8、成立，则4a24（a2）0，1a2；若B， 令f（x）x22axa2，如图知 解之得2a，综上可知a（1，）6（1）当时，由可知：当时，的图像是开口向下的抛物线，它与轴的两交点分别在原点两侧；当时，的图像是开口向上的抛物线，必须：解得（2）当时，与轴的交点为，适合题意综上所述，所求实数的取值范围为7（1）f（1）abc0，abc，a0，c0由得ax2（ba）xcb0，（ba）24ac0所以两函数f（x）、g（x）的图象必交于不同的两点；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），射影分别为A1、B1，则(x1x2)2(2)24abc0，abc，2A1B1（，）【教学建议】 结论与方法多多通过合作探究的方式让学生自己得出，并通过自己的练习掌握，切不可将此过程由老师包办代替
