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1、- 数列求和一、直接求和法或公式法掌握一些常见的数列的前n项和：，1+3+5+(2n-1)=，等.例1 求解：原式由等差数列求和公式，得原式变式练习：，求 的前n项和.解：1二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2 求的和解：设则两式相加，得 三、裂项相消法常见的拆项公式有： ，等.例3 ，求的和解：，小结：如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列，的前n项和S.解：=Sn=四、错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其
2、中为等差数列，为等比数列，均可用此法.例4 求的和解：当时，； 当时，小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和公式求和.变式练习：求数列a,2a2,3a3,4a4,nan,(a为常数)的前n项和。解：1假设a=0, 则Sn=0 2假设a=1,则Sn=1+2+3+n=3假设a0且a1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nan ， aSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1=Sn= 当a=0时，此式也成立。Sn=五、分组求和法假设数列的通项是假设干项的代数和，可将其分成几局部来求
3、.例5 求数列，的前项和变式练习：求数列的前n项和解：数列求和根底训练1.等比数列的前项和S2，则2.设，则 .3.4. = 5. 数列的通项公式，前n项和6 . 的前n项和为 数列求和提高训练1数列an满足：a11，且对任意的m，nN*都有：amnamanmn，则( A )ABCD解：amnamanmn，an1ana1nan1n，利用叠加法得到：，2数列an、bn都是公差为1的等差数列，假设其首项满足a1b15，a1b1，且a1，b1N*，则数列前10项的和等于 ( B )A100B85C70D55解：ana1n1，bnb1n1a1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3则数列也是等差
4、数列，并且前10项和等于：答案：B.3设m=12+23+34+(n-1)n，则m等于 ( A )A. B.n(n+4)C.n(n+5) D.n(n+7)3解：因为an=n2-n.，则依据分组集合即得. 答案;A.4假设Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则S17+S3350等于 ( A )A.1B.-1C.0D.2解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn=答案：A5设an为等比数列,bn为等差数列，且b1=0,=an+bn,假设数列是1,1,2,则的前10项和为 ( A ) A.978B.557C.467D.979解 由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则q2-2q=0,q0,q=
5、2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,=2n-1+1-n,Sn=978. 答案：A6. 假设数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10 ( A )()A15B.12 C12D.15解析 A设bn3n2，则数列bn是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.7 一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为解： 设此数列an,其中间项为a1001,则S奇=a1+a3+a5+a2001=1001a1001,S偶=a2+a4+a6+a2000=1000a100
6、1. 答案:8 假设12+22+(n-1)2=an3+bn2+，则a=,b=,c=.解： 原式=答案：9等差数列an的首项a11，公差d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、三、四项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列对任意自然数n均有成立求c1c2c3c2014的值解：(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2(d0)解得d2，an2n1，可得bn3n1(2) 当n1时，c13；当n2时，由，得23n1，故故c1c2c3c20143232322320023201510. 设数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.解析 设等差数列an的首项为a1，公差为d，则Snna1n(n1)d.S77，S1575，即解得a1(n1)d2(n1)，数列是首项为2，公差为的等差数列Tnn2n.11. 数列an的首项a1，an1(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn.解析 (1)an1，1，又a1，10，10，数列是以为首项，为公比的等比数(2)由(1)知1即1n.设Tn.则Tn ， 得Tn1，Tn22.又123n，数列的前n项和Sn2. z.
