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1、第一节平面向量的概念及其线性运算A组基础题组1.已知向量a,b不共线,c=ka+b(kR),d=a-b.如果cd,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向2.(2016武汉武昌调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+等于()A.B.2C.3D.43.如图,已知AB是圆O的直径,点C、D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b4.(2016日照模拟)在ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c+a+b=0,则ABC的形
2、状为()A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形5.下列四个结论:+=0;+=0;-+-=0;+-=0,其中正确的结论个数是()A.1B.2C.3D.46.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则四边形ABCD的形状为.7.(2016内蒙古包头九中期中)如图,在ABC中,AHBC于H,M为AH的中点,若=+,则+=.8.如图,在梯形ABCD中,=2,M,N分别是DC,AB的中点.若=e1,=e2,用e1,e2表示,.9.设e1,e2是两个不共线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线;(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三
3、点共线,求k的值.B组提升题组10.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,nR),则的值为()A.-B.-2C.2D.11.(2017甘肃兰州二中月考)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+,0,+),则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心12.ABC所在的平面内有一点P,满足+=,则PBC与ABC的面积之比是.13.在直角梯形ABCD中,A=90,B=30,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+,则的取值范围是.14.如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不
4、同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为.15.已知P为ABC内一点,且3+4+5=0,延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a、b表示向量、.16.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.(1)用a,b表示向量,;(2)求证:B,E,F三点共线.答案全解全析A组基础题组1.Dcd,c=d(R),即ka+b=(a-b),k=-1,则c=b-a,故c与d反向.2.D+=(+)+(+)=2+2=4.故选D.3.D连接CD,由点C、D是半圆弧的三等分点,得CDAB且=a,所以=+=b+a.4.A如图,由c+a+b=0知,c(-)+a-b=(a-c)+(c-b)=0,而与为
5、不共线向量,a-c=c-b=0,a=b=c,故ABC是等边三角形.5.C+=+=0,正确;+=+=,错;-+-=+=+=0,正确;+-=+=0,正确.故正确.6.答案矩形解析如图,+=,-=,所以|=|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形.7.答案解析设=x,=(+)=+x(-)=(1+x)-x,且=+,1+x=2,-x=2,+=.8.解析=e1;=+=-+=+-=-=e2-e1;=+=-+=-=e1-e2.9.解析(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为=2e1-8e2,所以=2,又与有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)由(
6、1)知=e1-4e2,又因为B,D,F三点共线,所以存在实数,使得=,所以3e1-ke2=e1-4e2,得解得k=12.B组提升题组10.B易知=,EF=EB,=(+)=+=-,m=,n=-,=-2.11.B由=+,知-=,即=,P在BAC的平分线上,故点P的轨迹一定通过ABC的内心.12.答案解析因为+=,所以+=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=AC,由三角形的面积公式可知,=.13.答案解析由题意易得AD=1,CD=,所以=2,因为点E在线段CD上,所以设=(01),当=0时,点E与点D重合,此时=,则=0;当01时,=+=+2=+,又因为=+,所以=1,即=,所以
7、0.综上,0.14.答案2解析连接AO,O是BC的中点,=(+).又=m,=n,=+.M、O、N三点共线,+=1.m+n=2.15.解析=-=-a,=-=-b,3+4+5=0,3+4(-a)+5(-b)=0,=a+b.设=t(tR),则=ta+tb.又设=k(kR),由=-=b-a,得=k(b-a).而=+=a+.=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.由得解得t=.代入得=a+b.=a+b,=a+b.16.解析(1)由已知可得=(+)=(a+b).=(a+b)=(a+b),=b,=-=(a+b)-a=b-a,=-=b-a.(2)证明:由=b-a,=b-a,得=,又,有公共点B,故B,E,F三点共线.
