第五讲、数据分析一、数据的代表1-(—)(1)平均数：一般地，如果有n个数x，X，…,X，那么，x=(x+x+•••+x)叫做这n个数的平均数，X12nn12n读作“x拔”__注：如果有n个数x，兀2‘…,xn的平均数为x,则①ax,ax，…,ax的平均数为ax；②x+b,x+b,…,x+b的平均12n12n数为x+b；③ax^+b,ax2+b,•…,ax+b的平均数为ax+b2)加权平均数：如果n个数中，x出现f次,x出现f次，…，x出现f次(这里f1+f2+…fk=n)，1122kk12kxf+xf+…xf-那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为x=1丿12丿2kJk，这样求得的平均数x叫做加权平均n数，其中f,f,…,f叫做权12k(3)平均数的计算方法1① 定义法：当所给数据x,x,…,x,比较分散时，一般选用定义公式：x=(x+x+•…+x)12nn12nxf+xf+…xf② 加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：x=N12丿2"k，其中nf+f+•••f=n12k③ 新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：x=x'+a。
其中，常数a通常1取接近这组数据平均数的较“整”的数，x'1=xia，x'2=x2a，…，x'=xax'=(x'+x'+•…+x')是新1122nnn12n数据的平均数(通常把xi,x…,x,叫做原数据，x'x'…,x',叫做新数据)12n12n(4)算术平均数与加权平均数的区别与联系① 联系：都是平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式(它特殊在各项的权相等，均为1)② 区别：算术平均数就是简单的把所有数加起来然后除以个数而加权平均数是指各个数所占的比重不同，按照相应的比例把所有数乘以权值再相加,最后除以总权值二) 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数注：不是唯一的，可存在多个)(三) 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数注：①在找中位数的时候一定要把数据按大小依次排列；②如果n是奇数，则中位数是第n+1个；若n是偶数，则中位2数处于第"和第"+1个的平均数；③中位数一般都是唯一的)22二、数据的波动(—)极差：1) 概念：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差2) 意义：能够反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量，极差越大，波动越大。
二) 方差：(1)概念：在一组数据x,x，…,x，中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差通常用12n1“s2"表示，即s2=[(xx)2+(xx)2+•…+(xx)2]12n(2)意义：衡量数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，数据的波动越稳定注：如果有n个数x1,x2，…,x”的方差为s2，则①ax,ax，•…,ax的方差为a2s2；②x+b,x+b,•…,x+b的方差12n12n12n为s2；③ax+b,ax+b,•…,ax+b的方差为a2s212n(三) 方差的计算1)基本公式：s2=1[(x1x)2+(x2x)2+€+(xx)2]n12n1212(2)简化计算公式(I)：s2=[(x2+x2+€+x2)nx2]也可写成s2=[(x2+x2+•…+x2)]x2此公式n12nn12n的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方12:s2=[(x'2+x'2+€+x'2)nx'2]n12n可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数s2=1[(x'2+x'2+n12(3)简化计算公式(II)当一组数据中的数据较大时，a，得到一组新数据x'1=x1a忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
4)新数据法：原数据X,x,•…,x,的方差与新数据x'=X1a,12n11x'=xa，…，x'=xa，那么，22nn'22，…+x'2)]x'2此公式的记nX'n=Xna的方差相等,也就是说，根据方差的基本公式，求得x',x',•…,x',的方差就等于原数据的方差12n(四) 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用"S”表示，即s=s2=[(xx)2+(xx)2+€+(xx)2]n12n三、统计学中的几个基本概念1、总体:所有考察对象的全体叫做总体2、个体:总体中每一个考察对象叫做个体3、样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本4、样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量5、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数6、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。