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1、高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质课堂导学案新人教B版选修1-12.2.2 双曲线的几何性质课堂导学三点剖析一、双曲线的渐近线【例1】 求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.解析：把方程16x2-9y2=-144化为标准方程=1.因此可知，实半轴长a=4,虚半轴长b=3;c=5,焦点坐标为(0，-5)，(0，5)；离心率e=;顶点坐标为(0，-4)，(0，4)；渐近线方程为y=x.温馨提示双曲线=1(a0,b0)的渐近线为y=x,双曲线=1的渐近线为x=y，即y=x,应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.二、双曲线的离
2、心率【例2】 双曲线=1(a1,b0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和sc.求双曲线的离心率e的取值范围.解：直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，且a1,得到点(1，0)到直线l的距离d1=.同理得到点(-1，0)到直线l的距离：d2=,s=d1+d2=.由sc,得即5a2c2.于是得52e2,即4e4-25e2+250.解不等式，得e25.由于e10,所以e的取值范围是e.温馨提示本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想，点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及综合
3、运算能力.三、直线与双曲线的位置关系【例3】 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.解析：(1)由消去y，得(3-a2)x2-2ax-2=0.依题意即-a且a3.设A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆过原点，OAOB.x1x2+y1y2=0.但y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由，x1+x2=,x1x2=.(a2+1)+a+1=0.解得a=1且满足.(2)假设存在实数a，使A、B关于y=x对称
4、，则直线y=ax+1与y=x垂直，a=-1，即a=-2.直线l的方程为y=-2x+1.将a=-2代入得x1+x2=4.AB中点横坐标为2，纵坐标为y=-22+1=-3.但AB中点(2，-3)不在直线y=x上,即不存在实数a，使A、B关于直线y=x对称.各个击破类题演练1求满足下列条件的双曲线方程(1)以2x3y=0为渐近线，且经过点(1，2)；(2)与椭圆x2+5y2=5共焦点且一条渐近线方程为y-x=0.解：(1)设所求双曲线方程为4x2-9y2=,点(1，2)在双曲线上,点的坐标代入方程可得=-32,所求双曲线方程为4x2-9y2=-32,即(2)由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为(2，
5、0)，又双曲线的一条渐近线方程为y-x=0,则另一条渐近线方程为y+x=0.设所求双曲线方程为3x2-y2=(0),则a2=,b2=.c2=a2+b2=4,即=3,故所求的双曲线方程为x2-=1.变式提升1设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若PF1=3，则PF2=()A.1或5B.6C.7D.9解：由双曲线方程,得b=3.渐近线方程为y=x,已知其渐近线方程为3x-2y=0,即y=xa=2.由双曲线定义PF1-PF2=2aPF1=3PF2=7或PF2=-1(舍)PF2=7，故正确答案为C.类题演练2已知双曲线=1(a2)的两条渐
6、近线的夹角为,则双曲线的离心率为()A.2B.C.D.解析：双曲线=1(a).渐近线斜率分别为k1=,k2=-.tant2+2t-=0.解之，得t=或-3(舍去).a=.e=答案：D变式提升2已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.B.C.2D.解：由双曲线的第二定义可得PF1=e(x0+)=ex0+a,PF2=e(x0-)=ex0-aPF1=4PF2ex0+a=4(ex0-a)解得e=x0a0当且仅当x0=a时，e取最大值.故正确答案为B.类题演练3已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率
7、为且过点(4，-).(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x=3与双曲线交于M、N两点，求证：F1MF2M.(1)解：由双曲线的离心率为，即=2,a=b,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x2-y2=(0).由于双曲线过点(4，-).则42-(-)2=.=6.双曲线方程为(2)证明：由(1)可得F1、F2的坐标分别为(-2，0)、(2，0)，M、N的坐标分别为(3，)、(3，-).kF1M=故kF1MkF2M=F1MF2M.变式提升3已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l过点P(-2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距的取值范围.解析：由方程消去y,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.由题设得设A、B两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则直线l的方程为y=令x=0,得直线l在y轴上截距b=-k-1,截距b的取值范围是：(-,-2)(2+,+).1
