《高考数学试题汇编：第9章直线、平面、简单几何体 第3节 空间角与距离》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学试题汇编：第9章直线、平面、简单几何体 第3节 空间角与距离（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章 直线、平面、简单几何体三 空间角与距离【考点阐述】异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离直线和平面垂直的性质平面的法向量点到平面的距离直线和平面所成的角向量在平面内的射影平行平面的判定和性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定和性质【考试要求】（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理【考题分类】（一）选择题（共6题）1.（全国卷理7文9）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为A B C D【答案】D
2、 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB1/DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.2.（全国卷文6）直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于(A)30 (B)45 (C)60 (D)90【答案】C / 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. 【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是
3、异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，3.（全国卷理11文11）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.4.（全国卷文8）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所
4、成角的正弦值为（A） (B) (C) (D) 【答案】D：【命题意图】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。【解析】ABCSEF过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， 5.（重庆卷理10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线【答案】D解析
5、：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B6.（重庆卷文9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个 （B）恰有3个（C）恰有4个 （D）有无穷多个【答案】D【解析】放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等， 所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等（二）填空题（共1.题）1.（四川卷理15文15）如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 . 解析：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，
6、有三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角的平面角，为60又由已知，ABD30CD连结CB，则ABC为与平面所成的角设AD2，则AC，CD1AB4sinABC答案：（三）解答题（共33题）1.（安徽卷理18）如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 ()求证：平面；()求证：平面；()求二面角的大小。2.（安徽卷文19）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;（）求证：AC平面EDB; （）求四面体BDEF的体积；【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与
7、证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EGFH，得平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH平面ABCD，得FHBC，FHAC，进而得EGAC，平面；（3）证明BF平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. 3.（北京卷理16）如图，正方形ABCD和四边形
8、ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AFEG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE。（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CEAC，所以CE平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0， 0， 0），A（，0），D（，0， 0），E（0， 0， 1），F（，1）。所以=（，1），=
9、（0，），（，0，）。所以= 0-1+1=0，=。所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDE（III）由（II）知，=（，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x,y,z）,则=0，=0。即所以x=0，且z=y。令y=1，则z=。所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为。4.（北京卷文16）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求证：AF/平面BDE；（）求证：CF平面BDF;5.（福建卷理18）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径。（）
10、证明：平面平面；（）设。在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。（）当点在圆周上运动时，求的最大值；（）记平面与平面所成的角为（090）。当取最大值时，求的值。【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【解析】（）因为平面ABC，平面ABC，所以，因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。（）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为=，又因为，所以=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积
11、，故=当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大值时，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由，故，取得平面的一个法向量为，因为，所以。6.（福建卷文20）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1 中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1 不重合），且EHA1 D1. 过EH的平面与棱BB1 ，CC1 相交，交点分别为F，G。（I）证明：AD平面EFGH；（II）设AB=2AA1 =2 a .在长方体ABCDA1B1C1D1 内随机选取一点。
12、记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.7.（广东卷理18）如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点。平面AEC外一点F满足FB=FD=a，FE=a , （1）证明：EBFD；（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得FQ=FE,FR=FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。（2）设平面与平面RQD的交线为.由BQ=FE,FR=FB知, .而平面，平面，而平面平面= ，.由（1）知，平面，平面，而平面， 平面，是平面与平面所成二面角的平面角在中
13、，故平面与平面所成二面角的正弦值是8.（广东卷文18）如图4，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=. （1）证明：；（2）求点到平面的距离.解析:（1）证明：点E为弧AC的中点 9.（湖北卷理18）如图， 在四面体ABOC中, , 且（）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；（）求二面角的平面角的余弦值。10.（湖北卷文18）如图，在四面体ABOC中，OCOA。OCOB，AOB=120，且OA=OB=OC=1（）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQOA；（）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。11.（湖南卷理18）如图5所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。（）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；()在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F/平面A1BE？证明你的结论。A DB CA1 D1B1 C1E图5【解析】所以，取n.设F是棱C1D1上的点，则F（t,1,1）(0t1)，又B1（1，0，1），所以n这说明在在棱C1D1上是否存在一点F（），使B1F/平面A1BE解法2 如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM，因为E是DD1的中点，四边
