基本不等式案例的研究

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1、 “基本不等式”案例的研究 早上我们一块听了“许高”王瑞敏老师、“二高”苗付雨老师关于“基本不等式”的两节“同课异构”课，与昨天也恰好是一个女老师、一个男老师，一个是热情型的、一个是沉稳型的.我还是首先向两位老师的精心准备和辛勤劳动表示感谢与尊敬今天的交流方式与昨天一样：我、授课教师、听课教师三方互动，希望大家多发言；昨天谈过的今天我尽量不重复我发言的内容分为四部分： （1）案例研究的认识（2）不等式的教学分析 （3）案例分析的实施 （4）数形结合 1 案例研究的认识 1-1 什么叫案例 “案例”一词源于法学，就是一个案件，哈佛法学院将案例应用于法律人才的培养，产生案例教学；哈佛工商学院将其应

2、用于工商管理人才的教学，取得显著成效；之后，人们把“病例”用于医生培养，把“战例”用于军官培养，把“课例”用于教师培养，都叫做案例教学教师教育中的案例教学始于20世纪70年代，伴随案例教学而进行的分析、反思、提炼又促进了“案例研究”的发展这里有三个词：案例、案例教学、案例研究案例是一个教学实例，案例教学是一种教学方法，案例研究是一类研究方法三者既有联系又有区别 （1）案例（课例）的界定：数学教育上的案例是具有典型意义的教学过程的描述对于数学教学上的案例，我们更习惯叫做课例（或个案），在形式上，可以是体现教育理论与教学技能的课堂实录，可以是学生学数学的生动故事，可以是教师教数学的有趣设计，还可以

3、是教学实践中遇到的意外与困惑的事件为了教学研究的需要，课例的叙述可以对课堂信息的摄取有所侧重，对课堂之外的情况（如教师、学生的背景）及心理活动有所描述（动机、态度、思想、意图、需要等），这就使得用于教学分析的课例与记录教学实验的课例略有区别创作课例可以是一种“教育叙事”，用记叙文的体裁表示出来 （2）案例的作用：教学课例包含有充分多的信息（可以代表一类事物），蕴含一定程度的理论原理，反映了教学实践的经验与方法，渗透着对特定教学问题的深刻反思，可以帮助数学教师树立一种观念，明白一个道理，理解一个概念，学到一种方法；案例是了解教学的窗口，是问题解决的源泉，是教学理论的故乡，是教师发展的阶梯 （3）

4、案例的特征：典型性、研究性、启发性1-2 什么叫案例研究 （1）案例研究的界定：在对典型教育事件进行具体描述的基础上，通过分析、归纳和解释，概括出具有普遍性结论的研究方法，叫做案例研究 （2）案例研究的意义：在案例研究中，作为研究素材的一个或多个案例本身是研究的一部分，对案例的收集、整理和叙述本身体现着研究者的研究旨趣和研究立场，但是，案例素材本身并不是理论，需要研究者对案例素材进行分析、解释、判断和评价，形成特定的理论从这个意义上说，案例研究是从具体经验事实走向一般理论的一种研究工具（相当于生物学研究中的标本）案例研究突破了理论脱离实践的困境，建构了与实际问题紧密相连的知识体系，便于教师结合

5、自己的教学实际开展研究1-3 案例研究的视角 怎样开展案例研究呢？我们建议抓住三个主要视角 主要看数学功底与本质洞察.（1）数学的视角（主要看数学功底与本质洞察） 内容结构：数学内容充实、完整，逻辑线路明晰 知识构建：原有知识经验明确，有构建新知识的合理过程 数学概念：清晰、准确，有发生过程 数学论证：科学、正确，有思维揭示 数学思想：有数学思想方法的渗透、提炼或阐明 （2）教学的视角（主要看教学能力与风格特点） 教学目标：体现三维目标，定位准确，教学性质清楚 教学要求：恰当、适合学生的最近发展区 教学方法：创设发现情景，鼓励探索质疑，多向交流沟通，促成意义建构 教学过程：有序、完整，思路清晰

6、，使用多媒体，激励性评价 教学效果：突出了重点、突破了难点，实现了教学目标（3）观念的视角（主要看与时俱进的数学教育中国道路）已经进行了十几年的数学新课改课堂，我们的眼光不要停留在十几年前，观察课堂、寻找特色，应该与时俱进，有新的认识： 新课改所倡导的教学理念经过十几年的贯彻，必然会与数学学科特征有机结合，产生出既区别于其他学科、又区别于传统的数学教学新特色其实质是创新新输入的课改理念经过十几年的贯彻，必然会与数学教育的中国道路相互作用，促进中国数学教育在新课程背景下的现代发展其实质还是创新如今的数学教学大体上都是：以问题情景作为课堂教学的平台，以“数学化”作为课堂教学的目标，以学生通过自己努

7、力得到结论（或发现）作为课堂教学内容的重要构成，以“师生互动”作为课堂学习的基本方式就是说，数学现实、数学化、再创造、师生互动是四个关键词最重要的是能从这些视角里看清基本事实，并用这些事实去分析相关的数学处理、解释相关的教学行为当然，课例分析的共识有的只能作为教师的营养，间接进入课堂，而有的则可以直接进入课堂，这两方面都将促进教学的发展课例分析不应是“空对空”的“纸上谈兵”，而应该是“实对实”的“行动研究”2 不等式的教学分析2-1 不等式的定义关于不等式的定义，通常有两种提法定义1 表示不等关系的式子，叫做不等式这个定义采用了“否定等式”的方法，没有正面指出“不等关系”的具体含义随着学习的深

8、入会表现出它的局限性当然，在实数范围内，任意两个实数有且只有三种关系，因而，否定，即当然是指或从教材所出现的内容看，定义1 的“不等关系”包含：，等关系 现在问：是不是不等式？在求函数的定义域时，确实遇到过这样的式子：定义域为（否定形式） 且 正面肯定形式是 也就是说，我们可以把：看成是不等式，即 或； 或或 但是，学习复数之后，并不表明或同样 一匹马一头牛，奇数偶数，能是数学上的不等式吗？事实上，不等关系并非永远等价于大小关系，对相等关系的否定，并不一定是对大小关系的肯定，而不等式的本质不仅是对相等关系的否定，而且是对大小关系的肯定因此，不等式的如下定义比较好：定义2 用不等号“”“”连接起

9、来的式子叫做不等式这里说的“式子”可以随着学习的深入而逐步扩展外延（用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成，这里所说的“数学运算符号”是指初等运算初等运算包含有限次的加、减、乘、除、正整数次乘方、开方(或有理数次乘方)这些运算都叫做代数运算;此外，还包括无理数次乘方、对数、三角和反三角等运算这些运算都叫做初等超越运算）与定义1相比，这个定义的优点是：（1）直接指出不等的本质是大小关系，至于，则作为，与的逻辑“或”（2）采取了肯定的叙述方式，更适合中学下定义的习惯（3）直接指出概念的外延，更易于学生掌握例如，是或的意思（不小于），在的关系中用了不等号 ，故称为不等关式又如，虽然表示了两个

10、量的不等关系，但不能写成或，因而不是用“”，“”连结起来的式子，就不是不等式那么，“”，“”又是什么意思呢？证明一个不等式证到什么程度算是证出来了呢？ 1-2 不等关系的基本出发点 （1）充要条件：这个充要条件把实数的大小关系转化为实数的符号（正、负号）这是不等式证明或求解的基本出发点（作差比较法）那么，“实数的符号（正、负号）”又是怎么规定的呢？ （2）符号法则“充要条件”把实数的大小关系转化为实数的符号，因而正负数的大小性质，也是不等性质的基础，整理如下： 在数轴上（水平放置），位于右侧点表示的实数大于位于左侧点表示的实数，位于左侧点表示的实数小于位于右侧点表示的实数，同一点表示的两个实数

11、相等 正数大于0，也大于负数；负数小于0，也小于一切正数 正数中，绝对值大的较大，负数中，绝对值大的较小 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零 两个正数之和必是正数，两个负数之和仍是负数 同号相乘得正，异号相乘得负；反之，两个数的积为正，则该两数同号；两个数的积为负，则该两数异号 一个数的倒数与其本身同号 一个数乘（除）以一个正数，不改变符号 任何实数的平方都不小于0，（）（非负数）由，有，继续有诸多变形 （）（非负数） 全量大于任一部分如 等号成立当且仅当又由 得 ，等号成立当且仅当这些性质是不等式性质和证明的基础 1-3 不等式的性质不等式性质（定理和推论）基本上都是用“

12、充要条件”来证的，（也即作差比较法），而推理则用多用综合法 （1）学生的心理是，一方面认为性质“显然”，另一方面又是第一次做不等式证明，不知道怎么证“显然”的心理是可以理解的第一，定理确实很简单，像是常识第二，有的性质以前学过，当时没有证明第三，有的性质以前已不自觉用过了 正因为这些性质比较简单，所以可以使用的原理就比较少，难下手，想不到就利用实数的一些正负性质另外，第一次证明，用什么方法证也不知道（2）这是培养逻辑推理能力的重要机会 许多同学在这些证明中想当然，最好能像平面几何证明的开头一样，要求步步有据 同时加强正反对比，反例说明很有作用如（学生的错误） ； ; ; ，; ，； ，（3）这

13、些不等式的性质虽然简单，但学生往往记不住，原因是零碎，性质之间缺乏逻辑关系，可作这样的分类 1-4 基本不等式 （1）几何背景1 由数到形的过程： 转化1： 构造图形：将与线段长度（距离）互化，将 （）与面积互化，将（）与体积互化，将与勾股定理沟通. 转化2：正方形的面积4个直角三角形的面积 （全量大于它的任一部分）于是，由形到数的过程或代数变形，有 但 （基本不等式的一个根源，并与配方法沟通）所以 （放缩法的推理） (2)基本不等式的几何背景2.构造图形：将与线段长度（距离）互化， 将转化为线段， 将转化为线段，构造是关键，可以理解为直角三角形斜边不小于直角边.进一步，对，有 ， 在变换（）， ， ，由 与三角函数沟通 (3)不等式的有用变形. 变形1：（） 例1-1 柯西不等式证明 时显然成立对，取，有 ，得 变形2 ： 除以例1-2 1984年高中数学联赛 设 都是正数，求证证明 由（），求和 变形3： 除以 例1-3 （）已知，为两两各不相同的正整数，求证对任何正整数，下列不等式成立证明 由，求和 变形4：（）例1-4 （）设为正实数且满足，试证 证明 由 ，同理 ， ，相加 左边变