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1、经济数学基础辅导4叶挺峰第一编 第三章 导数应用本章主要是介绍利用导数研究函数的一些特性，如极值、最值和对经济问题进行边际分析、弹性分析等内容：一、 如何确定函数的单调区间？1、定理：设y=f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，若X（a,b）,有（1） f(X)0，f(X)在a,b上单调增加；（2） f(X)0，f(X)在a,b上单调减少； 此定理中的区间，称为单调区间。2、确定函数y=f(x)单调区间步骤：（1） 确定Y=f(x)的定义域D；（2） 求Y；（3） 令Y=0，求出根；（4） 用Y=0的根，划分D为几个小区间，列出表格判别；（5） 结论。例如：确定函数的单调区间。解：f(x
2、)的定义域： =6(X-1)(X-2)令 即6（X-1）（X-2）=0得X1=1，X2=2 列表 X （-，1）1（1，2）2（2，+）Y + - +Y 注意：确定Y的符号时，可取小区间中任意一个确定数，如：0，1.5，3，代入f(X)式中定出y的正、负号，再用符号“”、“”分别表示，曲线上升或下降。故f(x)单调增加区间为（-，1,2，+)，单调减少区间为1，2 二、 函数极值和最值：函数极大值与极小值统称为极值。取到极大值或极小值的点统称为极值点。1、极值的必要条件：f(x)在点X0处可导，点X0是f(X)的极值点，则f（X0）=02、驻点：使f(X)=0的点，称为f(X)的驻点（或稳定点
3、）。注意：（1）点X0是f(x)的极值点（或稳定点），f(x)在X0处可导，则点X0必定是驻点； （2）驻点不一定是极值点； （3）在导数不存在的点处，可能有极值。 3、极值存在充分条件： 设f(x)在点X0的邻域连续且可导（f（X0）可以不存在），当X从X0的左侧到右侧取值时，f(X)符号：从+变-，X0为极大值点，f(X0)为极大值；从-变+，X0为极小值点，f(X0)为极小值；不变号，X0不是极值点，f(X)在X0处无极值。用以上定理，可判别X0是不是f(X)的极值点。下面举例说明如何求函数的极值和极值点。例如：求函数的极值。解：f(x)的定义域（-，+） 令f(X)=0 则有得驻点X=
4、8X=0使f(X)无意义，X=0是f(X)不可导的点。列表 X （-，0） 0 (0,8) 8 (8, +) y - 不存在 + 0 - y 0 4 极小值 极大值 故X=0是极小值点，极小值f(0)=0 x=8是极大值点，极大值f(8)=44、函数的最值： 函数最大值和最小值统称为函数的最值。对整个函数定义域而言，极值是局部概念，函数最值是整体概念。 求应用问题的最值，常用以下的结论： f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，且X0是f(x)在（a,b）内唯一驻点，那么当X0是f(x)极大值点（或极小值点）时，X0一定是f(x)在a,b上的最大值点（或最小值点），f(x0)是函数f(x)
5、的最值。例如：生产某产品的总成本函数 C（X）= 求使平均成本最低的产量及最低平均成本。解：平均成本 令A（X）=0，则有=0 得X1=20 X2=20(舍去) 当X20时， A（X）20时， A（X）0 X=20是极小值点，在（0，+）内驻点唯一，X=20也是最小值点。 故当产量X=20时，平均成本最低，最低平均成本为 A（20）= 三、导数在经济分析中的应用1、需求（价格）弹性 设某商品的市场需求量为q，价格为P，需求函数q=q(P)可导，则称为该商品需求价格弹性，简称需求弹性。其经济意义是：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，某需求量将增加（或减少）|Ep|%。例如：某种商品的需求量q
6、(单位：百件)与价格P（单位：千元）的关系为： p0，10 求当价格为9千元时的需求弹性。解： 当P=9时， 2、三个边际函数（1） 边际成本：边际成本是总成本函数C（q）关于产量q的导数，记为MC，则有MC=C（q）。经济意义：当产量为p时，再生产一个单位产品所增加的成本。即边际成本是第q+1个产品的成本。（2） 边际收入：边际收入是总收入函数R（q）对销售量q的导数，记为MR。经济意义：当销售量q时，再销售一个商品所增加的收入。（3） 边际利润：利润函数L=L（q）对销售量q 的导数，称为边际利润，记为ML。由于利润函数L（q）=R(q)-c(q), 则有L（q）=R(q)-c(q)例如：
7、已知总成本函数为C（q）=2000+450q+0.02q销售单价为490，求1） C（q）2） L(q)及L(q)解：1）C(q)450+0，04q2)总收入函数R(q)=pq=490q利润函数：L(q)=R（q）-C(q) =490q-(2000+450q+0.02q) =-0.02q+40q-2000边际利润函数为：L(q)=-0.04q+40自测题:一、选择题： 1、函数y=x-4x+5在区间（0，+）内 A、单调增加 B、先单调增加后单调减少C、先单调减少后单调增加 D、单调减少 2、下列结论中正确的是（ ）。 A、函数的驻点一定是极值点 B、函数的极值点一定是驻点 C、函数的极值点处
8、导数必为0 D、函数的导数为0的点一定是驻点 3、设需求函数q= ,则需求弹性EP=（ ） A、 B、C、 D、二、填空题1、f(x)在（a,b）内 有f (X)=0,则f(X)= 。2、函数f(x)= x-1的单调下降区间是 。3、已知需求函数，则需求弹性EP= 。三、计算题1、 确定函数的单调区间。2、 求函数f(x)=-X4 + x32x + 2的极值。3、 某产品固定成本为18（万元），可变成本2x +5X（万元），其中X为产量（百台），求使平均成本最低的产量。4、 某产品的需求量q=250-2P(P为价格)，价格为多少时，可使收入最大？5、 已知某商品的需求量q=1200-100p(
9、件)，其中P是价格（元/件），求使收入最大的销售量和相应的最大收入。6、 某厂生产X个产品的成本为C（X）= 2X +100（元）得到收益为R（X）=8X0.01x(元),问生产多少个产品时才能利润最大?最大利润是多少? 答案：一、 选择题： 1、C 2、D 3、C二、 填空题：1、C（常数） 2、（0，+） 3、三、 计算题：1、 f(x)单调增加区间（，-1，3，+)单调减少区间为-1，32、 X=0是极大值点，极大值f(0)=23、 3(百台)4、 62.55、 q=600(件),最大收入R(600)=3600(元)6、 q=300(个),最大利润L(300)=800(元)经济数学基础辅
10、导5叶挺峰第二编 一元函数积分学第四章 一元函数积分学一、 不定积分1、 什么是原函数？设f(x)是定义在区间D上的函数，若存在F(x)，对任何xD， 均有 F(x)=f(x)(或dF(x)=f(x)dx)则称F(x)为f(x)在D上原函数(简称f(x)的原函数)。注意：函数f(x)的原函数不唯一，有无穷多个。f(x)的任意两个原函数只差一个常数。例如：F(X)是f(x)的一个原函数，C为常数，有F(x)+C=F(x)=f(x)。2、 不定积分定义： 对于某区间D上的函数f(x)为可积函数，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为f(x)dx，并称它为函数 f(x)的
11、不定积分。若F(x)是f(x)的一个原函数，C为任意常数，由于f(x)的全体原函数可表示为F(x)+C，则有f(x)dx=F(x)+C其中C称为积分常数。3、 为什么求积与求导互为逆运算？在f(x)dx= F(x)+C中，两边对x求导， 则有f(x)dx= F(x)+C=F(x)=f(x)又因F(x) dx=f(x)dx= F(x)+C上式表明：对F(x)先导后积，结果是F(x)加上一个常数。可见：求积与求导(或求微分)互为逆运算。4、 基本积分公式：求积与求导互为逆运算，因此，有一个导数公式就有一个对应的积分公式，同学们应熟记以下九个积分公式。odx=c xndx=+C(n1) = ln|x
12、|+c axdx=+cexdx=ex+c sinxdx=cosx+ccosdx=sinx+c = cotx+c = tanx+c二、 基本积分方法：(一) 不定积分常用性质1、 代数和分开积f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx2、 常数因子提出来kf(x)dx = kf(x)dx (k0常数)(二) 积分基本方法：1、 直接积分法这是用不定积分运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。例1：求下列不定积分(1) (3x22x+1)dx解：原式=3x2dx2xdx+dx =32x+c=x3-x2+x+c(2) ( + 2x)dx解：原式=dx+2xdx=ln|x|+ + c(3) ex(1+e-x)dx解：原式=exdx+dx=ex+x+c(4) tan2xdx解：原式=dx = dx =dxdx = tanxxc2、 凑微分法(又名第一换元法) 这是计算不定积分重要方法，又是本章重点，应多做练习，熟练掌握。凑微分法又名第一换元法。这方法实质上是把被积表达式凑成微分形式，再用基本公式求积。即fu(x)u(x)dx fu(x)du(x) u(x)=u，有f(u)du = F(u)du = dF(u)故dF(u) = F(u) + c=Fu(x)+c u=u(x)注意：使用这方法求积，凑微分时需换元即选取新积分变量；在结果中要回代，消去中间变量。例如：求e2xdx
