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1、、平抛运动及其推论一、知识点巩固：1定义：物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体仅在重力作用下、加速度为重力加速度g, 这样的运动叫做平抛运动。2特点：受力特点：只受到重力作用。 运动特点：初速度沿水平方向，加速度方向竖直向下，大小为g,轨迹为抛物线。 运动性质：是加速度为 g的匀变速曲线运动。gte轨迹方程:顶点在原点（0、0），开口向下的抛物线方程。tan2Vo注： 平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合（】）（3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度。二g恒定，所以运动。等的时间内相邻的位移的高度之比为（2） 平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达
2、式为丿= 的位移之差是一个恒量竖直方向上在相珂：为：旳=1： $： 5竖直方向上在相等的时间内相邻 审（T表示相等的时间间隔）。（4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为a）方向和位移方向（与水平方向之间的夹角是他日）是不相同的，其关系式他（即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移的水平分量的中点）。运动分类加速度速度位移轨迹分运动龙方向o直线丿方向g1 a直线合运动大小g抛物线与K方向的 夹角90 口tontan 日二2 0描绘平抛运动的物理量有卩0、*、疋、尸、占、a 0、兰，已知这八个物理量中的任 意两个，可以 求出其它六个。4.平抛运动的结论:运行时间：t （至，由h,g
3、决定，与V。无关。水平射程：x，由h,g, V。共同决定。v0V g t,方向竖直向下。 任何相等的时间t内，速度改变量v二g t相等，且A*Vo2v 如上图：所以t一tan-gtan(a )、 么 以不同的初速度，从倾角为0的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面 的夹角a相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）VV x。所以tan （a ） 2tan , 0为定值故a也是定值，与速度无关。 速度V的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，tan变 大，速度V与重力 的方向越来越靠近，但永远不能到达。 从动力学的角度看：由于做平
4、抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能 守恒。5、斜抛运动： 定义：将物体以一定的初速度沿与水平方向成一定角度抛出，且物体只在重力作用下（不计空气阻 力）所做的运动，叫做斜抛运动。它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向上不受力，加速度为0； 在竖直方向上只受重力，加速度为g。设初速度V0与水平方向夹角为00Vy V0 sin gty V0sin t 2gty V0sin t gt回落原水平面时间:yvsi12水平射程：x45时，x最大。6、类平抛运动问题： 平抛运动是典型的匀变速曲线运动，应掌握这类问题的处理思路、方法并迁移到讨论类平抛运动 （如带电粒子在匀强电场中的偏转等）
5、的问题上来.（1）类平抛运动的特点是物体所受的合力为恒力，且与初速度方向垂直（初速度V。的方向不一定是水平方向，即合力的方向也不一定是竖直方向，且加速度大小不一定等于重力加速度g） （2）类平抛运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动的合运动.处理类 平抛运动的方法与处理平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何.7、平抛运动中的临界冋题： 分析平抛运动中的临界问题时一般运用极端分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让 临界问题突现出来，找出产生临界的条件.例：如图所示，排球场总长为18m,球网高度为2m运动员站在离网3m的线上（图中虚线所 示）正对网向
6、上跳起将球水平击出（球在飞行过程中所受空气阻力不计，g取10m/s2）（1）设击球点在3m线的正上方高度为25m处，试问击球的速度在什么范围内才能 使球既不触网也不越界？若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球 不是触网就是越界，试求这个高度.二、平抛运动的常见问题及求解思路：关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问 题、有平抛运动与天体运动组合的问题等。本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问 题，即有关平抛运动的常见问题。1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度： 求解一个平抛运动的水平速度的时
7、候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由 落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。例1如图所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过开的壕沟，沟面对面 比A处低如，摩托车的速度至少要有多大？ g取10m/s2。解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间01.25=5 二 0.5 & 10在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为PT 5Vn = -啊&二10洌 JSf 052. 从分解速度的角度进行解题的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以直、卩尸与水平面垂直，所以耳与间的夹角等于斜面的倾角日。再根据平抛运动的分解可知动，那么我 物体在竖直方
8、向做自由落体运=% ；又因为九与斜面垂根据卩尸=旦 了。则tan 9=就可们 .二亠二各二字皿恥沁以求出时间艺taiiF tan30 1对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，贝賊们常常是“从分 解速度”的角度来研究问题。例2如图甲所示，以9. 8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角知物体完成这段飞行的时间是（日为孔口的斜面上。可）3A.B.辰2 4吕甲C.解析：先将物体的末速度耳分解为水平分速度和竖直分速度Uy （如图乙所示）。根据平抛运动所以根据平抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出：所以所以答案为Co3. 从分解位移的角度进行解题：对于一个做平
9、抛运动的物体来说， 的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移 如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角 与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解 成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫 做“分解位移法”）例3如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度卩0同时水平向左与水平向右抛出两个小 球A和B,两侧斜坡的倾角分别为3严和5彗，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的 运动时间之比为多少？解析：3严和 歹都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得 到tan氐AB所以有同理4. 从竖直方向是自由落体运动的角
10、度出发求解： 在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直 接找到运动的起点(这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”)，这给求平抛运动的初速度带来了很大的 困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。例4某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知眄二七=门，乃=，兀二，求叫。解析：A与BB与C的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设A丨场I龜I一 V-F-TA| I十二Kr到B、B到C的时间为T，贝U兀1 =花=又竖直方向是自由落体运动， 则Ay =儿-丿严評代入已知量，联立可得I VI5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题：例5从高为H
11、的A点平抛一物体，其水平射程为曲，在A点正上方咼为 2H的B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为 忘。两 物体轨迹在同 一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们换一个 角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很容易，如图5 所示，物体从A B两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在 设A B两方程分别 - F E 盜 为丿二扩*+八卞+轴上的抛物线，即可则把顶点坐标A (0, H)、B (0,得方程组2H、E (2, 0)卡、F八，0)分别代入可这个方程组的解的纵坐标,即为屏的高。6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题该斜面
12、足够长,则从抛出例6如图所示,在倾角为日的斜面上以速度叫水平抛出一小球,开始计时,经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大,最大距离为多少？解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然 分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理 本质凸显出 来。取沿斜面向下为龙轴的正方向，垂直斜面向上为轴的正方向，如图6 所示，在7轴上，小球做初速度为比血日、加速度为-旨5日的匀变速直线、加速度为运动,所以有V；(旳sin初2 =2刖U0S日 - % 皿& = -gc&当卩厂。时，小球在y轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。由式可得小球离 开斜面的最大距离tan小球从抛
13、出匚 GS&当= 时，小球在尸轴上运动到最高点，它所用的时间就是运动到离 开斜面最大距离的时间。由式可得小球运动的时间为7.利用平抛运动的推论求解：推论1任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形。例1从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为 巧和9,初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90?解析：设两小球夹角夹角分别为_砂cot二一们速度之间的 旳出后经过时间上，它 戲90，与竖直方向的此和17 - -一丄-o,对两小球分别构建速度矢量直角三角cot 旣二tan 0空=如图所示，由图可得又因为所以 由以上各式可得, 推论2:任意时刻的两个分位移与
14、合位移构成一个矢量直角三角形例2宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间 落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为2，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点 之间的距离为亠已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为尺万（2评乂刖有引力常数为G求该星球的质量M。解析：设第F次抛出小球，小球的水平位移为H,竖直位移为曲，如图8所示，构建 心正位移矢量直角三角形有：如图所示有由以上两式得2百直角三角形，rm若抛出时初速度增大到2倍，重新构建位移矢量令星球上重力加速度为 列，由平抛运动的规律得 由万有引力定律与牛顿第二定律得由以上各式解得推论3:平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。例3如图所示，与水平面的夹角为日的直角三角形木块固定在地面 点上水平抛出，求在运动过程中该质点距斜面上，有一质点以初速度从三角形木丄二tan日远距离。块的顶 勺解析：当质点做平抛运动的末速度方向平行片二砂的X二附最的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成日角。如图的反向延长线与水平位移的交远距离。根据平抛运动规律有：于斜面时，质点距斜面所示，图中A推论4:平抛运动的物体经时间畫后，其速度耳与水平
