2022年专接本-高等数学考试题库及模拟押密卷68(含答案解析)

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1、2022年专接本-高等数学考试题库及模拟押密卷(含答案解析)1. 判断题微分方程dy-2xdx=0的通解为y=x2.( )问题1选项A.对B.错【答案】B【解析】【考点】本题考查常微分方程-一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程-一阶微分方程-可分离变量的微分方程【解题思路】由dy-2xdx=0dy=2xdxy=x2+C.故本题选B.【点拨】微分方程的解:代入微分方程后能使方程成为恒等式的函数y=f(x).特解:不含任意常数的解.微分方程的通解:解中所含任意常数相互独立,且阶数与方程阶数相同.2. 单选题y=2x3+x+1的拐点为( )问题1选项A.x=0B.(1,1)C.(0,0)D.(0,1)

2、【答案】D【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点【解题思路】连续函数凹与凸的分界点称为拐点.求拐点的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域,(2)求出f (x)=0的点和不存在的点,并以这些点为分界点将定义域分成若干个子区间,(3)讨论f (x)在各个区间上的符号(f (x)0,曲线是凹的,反之曲线是凸的).函数y=2x3+x+1定义域为R,y=6x2+1,y=12x,令y=0,解得x=0,当x0时,y0,当x3+x+1的拐点为(0,1).故本题选D.3. 单选题设f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1),则在(0,1)

3、内曲线y=f(x)的所有切线中( )问题1选项A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴【答案】A【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-微分中值定理及洛必达法则-微分中值定理【解题思路】本题主要是运用罗尔定理.因为f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,所以由罗尔定理可得至少存在一点(0,1),使得f ()=0,即至少有一点处的切线的斜率为0,也就是平行于x轴.故本题选A.4. 判断题使f (x)=0的点称为函数的驻点.( )问题1选项A.对B.错【答案】A【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数

4、的单调性与极值-函数极值的判定定理【解题思路】由驻点的定义知该结论正确.故本题选A.【点拨】如果x0是函数f(x)的极值点,则f (x0)=0或者f (x0)不存在推论 如果函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,则f (x0)=0.驻点定义:如果f (x0)=0,则称x0为函数f(x)的驻点.5. 问答题某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是x、y(千件),甲厂的月生产成本是C1=x2-2x+5(千元),乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元).若要求该产品每月总产量为8千件,并使总体成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本.【答案】解:总成本L(x)=x2-

5、2x+5+(8-x)2+2(8-x)+3=2x2-20x+88,L (x)=4x-20,L (x)=4,令L (x)=0,即4x-20=0x=5,故x=5为L(x)的唯一极小值点,又由实际问题必有最小值知L(x)在x=5取最小值L(5)=252-205+88=38,y=8-x=8-5=3。故甲工厂最优产量为5千元,乙工厂最优产量为3千元,最小成本为38000元。【解析】【解题思路】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性与极值。6. 判断题xyy+xy3-x4y=0的阶数是3.( )问题1选项A.对B.错【答案】B【解析】【考点】本题考查常微分方程-微分方程的基本概念-微分方程

6、的阶【解题思路】微分方程xyy+xy3-x4y=0的未知函数的最高阶导数为y,所以该微分方程的阶数为2.故本题选B.【点拨】微分方程的阶:方程中未知函数的最高阶导数的阶数n叫作该微分方程的阶,同时该方程叫作n阶微分方程.7. 填空题通解为y=C1e-x+C2e3x(C1,C2为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为( ).【答案】【答案】y-2y-3y=0【解析】【解题思路】本题考查常微分方程-二阶常系数线性微分方程-二阶常系数线性齐次微分方程的解法。因为二阶线性常系数齐次微分方程方程通解为y=C1e-x+C2e3x,故其特征方程为(r+1)(r-3)=0r2-2r-3=0,故该方程为y-2

7、y-3y=0。8. 多选题下列是微分方程的是( )问题1选项A.x2+y2=RB.(y )2+3y=0C.D.y=ex-y【答案】B;C;D【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的概念与性质-导数的性质与运算-基本初等函数导数公式【解题思路】选项A:显然,该方程中不含有未知函数与未知函数的导数和微分,故该方程不是微分方程;选项B:显然该方程中含有未知函数的导数y,所以该方程是微分方程;选项C:显然该方程中含有未知函数的微分dy,所以该方程是微分方程;选项D:显然该方程中含有未知函数的高阶导数y,所以该方程是微分方程.故本题选BCD.【点拨】微分方程:表示未知函数、未知函数的导数或

8、微分与自变量之间的关系的方程.如果微分方程中的未知函数仅有一个自变量,这样的微分方程称为常微分方程.否则,称为偏微分方程.9. 计算题求不定积分 xcosx dx.【答案】解: xcosx dx= x d(sinx)=xsinx- sinx dx=xsinx+cosx+C.【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-分部积分法.【点拨】分部积分公式为 u dv=uv- v du.10. 判断题方程x3-3x+1=0在区间-1,1上有3个实根.( )问题1选项A.对B.错【答案】B【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性与极值-判断函数的单调性【解题

9、思路】令f(x)=x3-3x+1,对任意x-1,1,都有f (x)=3x2-30,所以f(x)单调递减,故其在-1,1内最多有一个零点,即方程x3-3x+1=0在区间-1,1上最多有一个实根.故本题选B.【点拨】设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则有如果在(a,b)内f (x)0,则函数在a,b内单调增加;如果在(a,b)内f (x)0,则函数在a,b内单调减少.11. 单选题y=x4-2x3+1的凸区间为.( )问题1选项A.(-,0)B.(0,1)C.(1,+)D.(-,+)【答案】B【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点【解题思路】

10、由y=x4-2x3+1y=4x3-6x2y=12x2-12x,令y=12x2-12x0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;如果在(a,b)内f (x)0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的.12. 填空题设函数f(x),g(x)均可微,且同为某函数的原函数,f(1)=3,g(1)=1,则f(x)-g(x)=( ).【答案】【答案】2【解析】【解题思路】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的概念及其性质-原函数。因为f(x),g(x)为同一函数的原函数,故f(x)-g(x)=f(1)-g(1)=3-1=2。13. 单选题已知收敛,则( )问题1选项A.B.C.D.【答案】

11、C【解析】【考点】本题考查无穷级数-常数项级数的概念与性质-常数项级数的性质【解题思路】收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和.如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如,级数(1-1)+(1-1)+(1-1)+收敛于零,但级数1-1+1-1+却是发散的.故本题选C.14. 单选题微分方程y+y-2y=xe-x的特解用待定系数法可设为( )问题1选项A.y*=x(ax+b) e-xB.y*=x2(ax+b) e-xC.y*=(ax+b) e-xD.y*=axe-x【答案】C【解析】【解题思路】本题考查常微分方程-二阶常系数线性微分方程-二阶常系数线性非齐次微分方

12、程的解法-f(x)=Pm(x) ex型。该方程所对应齐次方程特征方程为r2+r-2=0,其解为r1=1,r2=-2,因为-1不是特征根,故其特解可设为y*=(ax+b) e-x。故本题选C。15. 单选题可导函数f(x)和g(x)满足g (x)=f (x),则下列选项哪个正确( )问题1选项A.g(x)=f(x)B.( g(x)dx)=( f(x)dx)C.g(x)=f(x)-CD. g(x)dx= f(x)dx【答案】C【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的性质【解题思路】因为g (x)=f (x),两边积分得g(x)=f(x)-C,再两边积分得 g(x)dx=

13、(f(x)-C)dx= f(x)dx- Cdx= f(x)dx-Cx,再对两边求导得( g(x)dx)=( (f(x)-C)dx)=( f(x)dx)-C.故本题选C.16. 单选题已知f(x)的定义域为1,e,则f(ex)的定义域为( )问题1选项A.(0,1B.0,1C.(0,1)D.0,1)【答案】B【解析】【考点】本题考查函数、极限与连续-函数-函数的概念【解题思路】涉及了复合函数的定义域.因为f(x)的定义域为1,e,所以1exe,解得0x1,所以f(ex)的定义域为0,1.故本题选B.17. 单选题若y=2ex-x2+x+1,则y(520)=( )问题1选项A.520exB.2exC.2e520xD.0【答案】B【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-高阶导数-常用的n阶导数公式【解题思路】常用的n阶导数公式:(ex)(n)=ex,(xm)(n)=0(正整数mx-x2+x+1,所以y(520)=2ex.故本题选B.18. 单选题方程3x-2sinx=0(-问题1选项A.0B.1C.2D.无数个【答案】B【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性于极值【解题思路】

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