《数学 文一轮教学案：第六章第4讲 数列求和、数列的综合应用 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学 文一轮教学案：第六章第4讲 数列求和、数列的综合应用 Word版含解析（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第4讲数列求和、数列的综合应用考纲展示命题探究数列的求和方法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和等差数列的前n项和公式：Snna1d.等比数列的前n项和公式：Sn常见数列的前n项和公式：a123n；b2462nn2n；c135(2n1)n2；d122232n2；e132333n32.(2)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见的裂项公式有：；.(4)错位相
2、减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的(5)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减注意点裂项相消法求和时注意事项(1)在把通项裂开后，应验证其是否恰好等于相应的两项之差(2)在正负项抵消后，应注意是否只剩下第一项和最后一项，有时是前面剩下两项(或几项)，后面也剩下两项(或几项). 1思维辨析(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn较为合理()(2)如果数列an为等比数列，且公比不等于
3、1，则其前n项和Sn.()(3)当n2时，.()(4)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(5)如果数列an是周期为k的周期数列，那么SkmmSk(m，k为大于1的正整数). ()答案(1)(2)(3)(4)(5)2数列12n1的前n项和为()A12n B22nCn2n1 Dn22n答案C解析由题意得an12n1，所以Snnn2n1，故选C.3在10到2000之间，形如2n(nN*)的各数之和为()A1008 B2040C2032 D20xx答案C解析S2425210(271)242032.考法综述高考中主要考查等差等比数列的前n项和公式及非等差等
4、比数列的求和方法一般综合性较强，对分析能力、运算能力要求高命题法给出数列求和典例(1)已知等差数列an，公差d0，前n项和为Sn，且满足a2a345，a1a414.求数列an的通项公式及前n项和Sn；设bn，若bn也是等差数列，试确定非零常数c，并求数列的前n项和Tn.(2)数列an的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an0,4Sn(an1)2.求证：数列an是等差数列，并求通项公式；设bn，求和Tnb1b2bn.解(1)依题意得，解得或(舍去)，an4n3，Sn2n2n.由知bn.数列bn是等差数列，则2b2b1b3，即2，解得c，bn2n.则，Tn.(2)证明：令n1,4S14a1(a11
5、)2，解得a11，由4Sn(an1)2，得4Sn1(an11)2，两式相减得4an1(an11)2(an1)2，整理得(an1an)(an1an2)0，an0，an1an2，则数列an是首项为1，公差为2的等差数列，an12(n1)2n1.由得bn，Tn，Tn，得Tn22，所以Tn1.【解题法】错位相减法求和的步骤步骤1写出Snc1c2cn；步骤2等式两边同乘以等比数列的公比q，即qSnqc1qc2qcn；步骤3两式错位相减转化成等比数列求和；步骤4两边同除以1q，求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论1.数列an的通项公式是an，若Sn10，则n的值是()A11 B99C120 D121答案
6、C解析an，Sn(1)()()()()1.令Sn10，解得n120.故选C.2在正项等比数列an中，a11，前n项和为Sn，且a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为()A125 B126C127 D128答案C解析设数列an的公比为q(q0)，a3，a2，a4成等差数列，2a2a4a3，2a1qa1q3a1q2，解得q2或q1(舍去)，S7271127.故选C.3.设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有，即解得或故或(2)由
7、d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.4已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解(1)设数列an的公差为d，依题意，2,2d,24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.显然2n60n800成立当an4n2时，Sn2n2，令2n26
8、0n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41.5已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.当n为偶数时，Tn1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn1等差数列与等比数列比较表等差数列等比数列通
9、项公式(1)ana1(n1)d(1)ana1qn1(2)anam(nm)d(2)anamqnm续表等差数列等比数列前n项和公式Sn或Snna1 dSn常用性质若m，n，p，qN*，mnpq，则amanapaq若m，n，p，qN*，mnpq，则amanapaq2数列实际应用中的常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差 (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比 (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑是an与an1的递推关系，还是前
10、n项和Sn与前n1项和Sn1之间的递推关系3数列与函数、不等式的综合问题(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类： 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形 (2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题注意点等差与等比模型的区别一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题是可以通过转化得到等差或等比数列. 1思维辨析(1)若ln an是等差数列，则an是等比数列(
11、)(2)1bb2b3b4b5.()(3)利用函数的方法研究数列问题时应注意题目中的限制条件，尤其是定义域()答案(1)(2)(3)2一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)答案A解析当第10次着地时，经过的路程为：1002(502510029)100200(212229)100200(129)3设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlg xn，则a1a2a99的值为_答案2解析因为yxn1(nN*)，
12、所以y(n1)xn(nN*)，所以y|x1n1，所以在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，即(n1)xyn0，当y0时，x，所以xn，所以anlg xnlg lg nlg (n1)，所以a1a2a99(lg 1lg 2)(lg 2lg 3)(lg 3lg 4)(lg 99lg 100)lg 1lg 1002.考法综述高考中对于数列的综合问题，多以等差数列、等比数列的交汇，数列与函数、不等式交汇等方式考查，以数列知识为主，同时考查“等价转化”“变量代换”思想的应用命题法1等差等比的综合应用典例1(1)在等差数列an中，a1030，a2050.求数列an的通项公式；令bn2an10，证明：数列bn为等比数列；求数列nbn的前n项和Tn.(2)某国采用养老储备金制度，要求公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策：不仅采用固定利率，而且复利计算
