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1、资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除1（2017海淀二模）对于无穷数列，记，若数列满足：“存在，使得只要（且），必有”，则称数列具有性质.（）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？（）求证：“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件；（）已知是各项为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，求证：存在整数，使得是等差数列.2（2017海淀一模）已知含有个元素的正整数集具有性质：对任意不大于(其中)的正整数存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于.（）写出的值；（）证明：“成等差数列”的充要条件是“”；（）若，求当取最小值时，的最大值.3（2017西城二模）设集合如果对于的每
2、一个含有个元素的子集，中必有个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”（）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；（）若为集合的“相关数”，证明：；（）给定正整数求集合的“相关数”的最小值4（2017西城一模）如图，将数字全部填入一个行列的表格中，每格填一个数字第一行填入的数字依次为，第二行填入的数字依次为记（）当时，若，写出的所有可能的取值；（）给定正整数试给出的一组取值，使得无论填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；（）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法，的所有取值的奇偶性相同5（2017东城二模）对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量.对于两个维向量，定义.
3、（）若，求的值.（）现有一个维向量序列：，若 且满足：，.求证：该序列中不存在维向量.（）现有一个维向量序列：，若 且满足：，若存在正整数使得，为维向量序列中的项，求出所有的.6（2017东城一模）已知集合，并且定义（例如：）（）若，集合的子集满足：，且，求出一个符合条件的；（）对于任意给定的常数以及给定的集合，求证：存在集合，使得，且.（）已知集合满足：，其中为给定的常数，求的取值范围7（2017朝阳二模）各项均为非负整数的数列同时满足下列条件： ； ；是的因数（）（）当时，写出数列的前五项； （）若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值；（）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常
4、数8（2017朝阳一模）对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.（）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）；（）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；（）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.9（2017丰台二模）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.（）若具有性质“”，且，求；（）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质“”，并说明理由；（）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，互质，求证：具有
5、性质“”.10（2017丰台一模）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”（）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数的取值范围；（）是否存在首项为-1的等差数列为“K数列”，且其前n项和满足？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；（）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由11（2017昌平二模）设集合，.对数列，规定： 若,则； 若，则.例如：当，时，.(I)已知等比数列，且当时，求数列的通项公式；(II)已知数列，证明：对于任意的，且，存在，使；(III)已知集合, ，设中最大元素为，中最大元素为，求证：.1
6、2（2017.1石景山期末）集合的若干个子集的集合称为集合的一个子集族对于集合 的一个子集族满足如下条件：若，则，则称子集族是“向下封闭”的（）写出一个含有集合的“向下封闭”的子集族并计算此时的值（其中表示集合中元素的个数，约定；表示对子集族中所有成员求和）；（）是集合的任一“向下封闭的”子集族，对,记，（其中max表示最大值），（）求； （）若是偶数，求1（2017海淀二模）（）数列不具有性质；具有性质.（）（不充分性）对于周期数列，是有限集，但是由于，所以不具有性质；（必要性）因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且，满足，即由性质的含义可得所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：
7、为一个周期中的各项，所以数列中最多有个不同的项，所以最多有个元素，即是有限集.（）因为数列具有性质，数列具有性质，所以存在，使得，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质的含义可得，若，则取，可得；若，则取，可得.记，则对于，有，显然，由性质的含义可得，所以所以.所以，又是满足，的最小的正整数，所以，所以，所以，取，则，所以，若是偶数，则；若是奇数，则，所以，所以是公差为1的等差数列.2（2017海淀一模）解：（）. （）先证必要性 因为，又成等差数列，故，所以； 再证充分性因为，为正整数数列，故有,所以,又，故，故为等差数列. （）先证明.假设存在，且为最小的正整数.依题意,则，又因为
8、,故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和.故假设不成立，即成立.因此,即，所以. 因为，则，若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，故，即. 此时可构造集合. 因为当时，可以等于集合中若干个元素的和，故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，所以集合满足题设，所以当取最小值11时，的最大值为1009. 3（2017西城二模）解：（）当时， 1分对于的含有个元素的子集，因为，所以不是集合的“相关数” 2分的含有个元素的子集只有，因为，所以是集合的“相关数” 3分
9、（）考察集合的含有个元素的子集 4分中任意个元素之和一定不小于所以一定不是集合的“相关数” 6分所以当时，一定不是集合的“相关数” 7分因此若为集合的“相关数”，必有即若为集合的“相关数”，必有 8分（）由（）得 先将集合的元素分成如下组：对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合10分再将集合的元素剔除和后，分成如下组：对于的任意一个含有个元素的子集，必有一组属于集合 11分这一组与上述三组中至少一组无相同元素，不妨设与无相同元素此时这个元素之和为12分所以集合的“相关数”的最4（2017西城一模）解：（） 的所有可能的取值为3，5，7，9. 3分（） 令 ，则无论填写的顺序如何，都有
10、 5分因为 ，所以 ， 6分因为 ，所以 8分注：，或均满足条件（）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变 不妨设，记，其中则 9分因为 ，所以 与具有相同的奇偶性 11分又因为 与具有相同的奇偶性，所以 与的奇偶性相同，所以 的所有可能取值的奇偶性相同 13分解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变 考虑如下表所示的任意两种不同的填法，不妨设，其中 9分 对于任意， 若在两种填法中都位于同一行，则在的表达式中或者只出现在中，或只出现在 中，且出现两次，则对而言，在的结果中得到 11分 若在两种填法中位于不同行，则在的表达式中在与中各出现一次，则对而言，在的结果中
11、得到由 得，对于任意，必为偶数所以，对于表格的所有不同的填法，所有可能取值的奇偶性相同 13分5（2017东城二模）解：（）由于，由定义，可得. 4分（）反证法：若结论不成立，即存在一个含维向量序列，使得，.因为向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，不妨设的第个分量变化了次之后变成，所以将中所有分量 变为 共需要 次，此数为奇数.又因为，说明中的分量有个数值发生改变，进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在维向量. 9分（）此时. 13分 易见当为12的因子时，给 (1分).答出给(1分).答出中任一个给(1分)，都对给(2分)6（2017东城一模）解：（
12、）由于，所以，回答其中之一即可 3分（）若集合，如果集合中每个元素加上同一个常数，形成新的集合. 5分根据定义可以验证：. 6分取，此时.通过验证，此时，且. 8分 （）由于11分 由于，.所以.13分7（2017朝阳二模）解：（）5，1，0，2，2. 3分（）因为，所以，又数列的前3项互不相等，（1）当时，若，则，且对，都为整数，所以；若，则，且对，都为整数，所以；（2）当时，若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；若，则，且对，都为整数，所以；综上，的值为. 8分（）对于，令， 则. 又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个.故存在正整数，当时，必有成立. 当时，则.从而.由题设
13、知，又及均为整数，所以，故常数.从而常数.故存在正整数，使得时，为常数. 13分8（2017朝阳一模）解：（）集合不是“和谐集”. 3分（）设集合所有元素之和为.由题可知，（）均为偶数，因此（）的奇偶性相同.（）如果为奇数，则（）也均为奇数，由于，所以为奇数.（）如果为偶数，则（）均为偶数，此时设，则也是“和谐集”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”.此时各项之和也为奇数，集合中元素个数为奇数.综上所述，集合中元素个数为奇数. 8分（）由（）可知集合中元素个数为奇数，当时，显然任意集合不是“和谐集”.当时，不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有 ，或者 ；将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有 ，或者 .
