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1、常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果/ C=90 ,a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b 2=c 2;反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边.与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2, 则称a、b、c为勾股数，记为(a, b , c).勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数(3 , 4,5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为( x 1, x, x+1 )，则由勾股数的定义，得(x+1 ) 2
2、+x2= (x+1 ) 2,解得 x =4或x=0(舍去)，故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5);类似有3n,4n,5n (n是正整数)都是勾股数。二、后两数为连续整数的勾股数易知：( 5,1 2,1 3 ), ( 9,4 0,4 1 ),( 1 1 3,6 3 3 8,6 3 8 5 )，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1 (其特点是斜边与其中一股的差为1).分别取 n =1,2,3,就得勾股数组(3,4,5 ), ( 5,1 2,1 3 ), ( 7,2 4,2 5 )，三、前两数
3、为连续整数的勾股数你知道(2 0,2 1,2 9 ), (119,120,169), (4059,4060,5741)，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：(x, x+1, 2x2 2x 1 ) (x为正整数)。1 2 2 2 2设前两数为连续整数的勾股数组为(x, x+1, y), y= 2x 2x1则x x 1 y (*)整理，得2x22x 1 = y2，化为 2x 1 22y21，即 2x 12y 2x 1, 2y =1,又12 12 =-1,A1，22n1 12n 12= 1(nN),故取2x 1-2y = 12, 2x 1、2y =2n 112 ,1l 2n 1 2n 1A
4、2l 2n 12n 1解之，得 x= 12+ 1.22，y = 12- 1,2 丨，441 2n 1 2n 11 2n 1_ 2n 1故前两数为连续整数的勾股数组是-2 2n 1+ 1, 1 2 1 4四、后两数为连续奇数的勾股数如(8, 15 , 17), (12 , 35 , 37)1 2 + 1 . 2 2，一 1 2 + 1 . 2 442n 12 ）其公式为：4（n+1）,4（n+1） 2-1,4（n+1） 2+1（n 是正整数）.五、其它的勾股数组公式：111.a=2m,b=m 2 1,c=m 2+1 （m 大于 1 的整数）.2.a=（m2 n2） ,b=mn,c=（m2+n 2
5、）（其中 mn 且22是互质的奇数）.3.a=2m,b=m2 n2,c=m 2+n 2 （mn,互质且一奇一偶的任意正整数）下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 45 ；5 1213 ；6 810 ；7 2425；815 17；912 15 ; 9 4041 ; 10 24 26;11 6061 ; 121620 ；123537 ;138485 ;144850 ;152025 ;153639 ;15 112 113；163034 ;16636517 144145；182430 ;188082 ;19180181；202129 ;2048 52 ;2099101;2128352
6、17275 ;21220221；22120122；23264265；243240 ;24 4551 ；247074；24143145256065 ;25312313；26168170；273645 ;27 120 123；27364365；284553 ;289610028195197；29420421;304050 ;307278 ;30224 226；31480481；326068 ;3212613032255257;334455 ;335665 ;33180183;33544 545；34288290;358491 ；3512012535612613;364860 ;367785 ;36
7、105111;36160164;36323325；37684685;38360362395265 ;398089 ;39252255;39760761;404258 ;407585 ;4096104;4019820240399401；41840841；425670 ；42144150；42440442；4392492544117125;4424024444483485;456075 ;45108117;45200205;45336339;46528530;485573 ;4864804890102;48140148;48189195;48286290;48575577;491681755012
8、0130;50624626516885 ;51140149；51432435；52165173；52336340；52675677;547290 ;5424024654728730;55132143;55300305;5690106;56105119;5619220056390394;56783785577695 ;57 176 185；57540543;58840842;606387 ;6080100;6091109;6014415660175185;60221229;60297303;60448452;60899901；62960962;6384105;6321622563280287;6
9、3660663;64120136;64252260;64510514;657297;65156169;654204256688110;66112130;66360366;68285293;68576580;6992115;69260269;6979279570168182；70240250；7296120；72135153；72154170；7221022272320 328 ; 72429 43572646650 ;75100125 ;75180195 ;75308317 ; 75560565 ; 75936939;76357365 ;7672072477264275 ;77420427 ;78104130 ;78160178 ; 78504510 ; 8084116 ;80150170 ;8019220880315325 ;80396404 ;80798802 ;81108135 ; 81360369 ; 84112140;84135159 ;8418720584245259 ;84288300 ;84437445 ;845
