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1、各类不等式的解法一、不等式的基本性质不等式的基本性质有:(）对称性或反身性:abb，则;（3）可加性：abab+,此法则又称为移项法则；(4)可乘性：a,当0时，acbc；当c0时，acb,cd,则a+bd;（2)正数同向相乘：若ab0，cd0,则ad。特例：（）乘措施则：若ab0,n+，则;(）开措施则：若b，nN，则;(5）倒数法则：若ab0，ab,则。例: ）、的大小关系为 2）、设,且则与的大小关系是 . )已知满足， 试求的取值范畴.例.比较与的大小。例3解有关x的不等式。二、一元二次不等式的解法一元二次不等式或 的求解原理:运用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出
2、任何一元二次不等式的解集。 二次函数的图象 一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根 无实根解集 R的解集 【例题解说】1.解下列不等式：（1) () （3) (）2.解不等式组 (1） (）3.若不等式的解集为(2,3),求不等式的解集4当为什么值时,不等式对于一切实数都成立?三、分式不等式与高次不等式的解法1.分式不等式解法2.高次不等式解法:数轴标根法（奇穿偶切)典型例题例1解下列不等式(1)0 (2)3-3（4) 1例 解下列不等式:(）(x)(x-)() (2）（x-1)(x-)()0(3) x(-）2(x+)（x+2)0 (4)(x-3)(+2）(x-）（-4)0（5) （6)(7
3、） (8）四、无理不等式的解法解无理不等式的基本措施就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要注意等价变换题型：例 解不等式 题型：例2 解不等式题型：例3解不等式例4解不等式例解不等式五、绝对值不等式的解法具有绝对值的不等式的解法核心就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一种零点分两个范畴,两个零点分三个零点,依次类推.(1）具有一种绝对值:不等式的解集是;不等式的解集是不等式的解集为 ;不等式的解集为 （)具有多种绝对值：零点分段法例1 解不等式(1）. （2) (3）（4)| 2x-| +例解不等式:(1）|x-3-|x+1|0b2.常用的几种重要不
4、等式（1)22ab(，b） (2)()2（a，b）(3)(）2(a,bR） (4)2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0,则a，b的算术平均数为，几何平均数为,基本不等式可论述为:两个正数的算术平均数不不不小于它们的几何平均数4.运用基本不等式求最值设x，y都是正数.(1)如果积y是定值P,那么当xy时和x有最小值.()如果和x+y是定值S，那么当x=时积y有最大值S2.练习1.已知两个正数a,b的等差中项为4,则a，b的等比中项的最大值为( )A. B. C. D.162.若a,bR，且b,则下列不等式中,恒成立的是( )A.222
5、ab a+b2 C D.+2若x+2y，则2x+4的最小值是( ）4 B8 C. .44.当x1时，求函数f（x）=x的最小值_.5.已知，y0，且满足+=1,则的最大值为_.6.某公司一年购买某种货品 400吨，每次都购买x吨,运费为万元/次,一年的总存储费用为x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=_.7. 已知、b、为正实数，且abc=1,求证:(-1)(-1)（-).八、不等式的证明（一)比较法:1.比较法之一（作差法)环节:作差变形判断与的关系结论.比较法之二（作商法)环节:作商变形判断与的关系结论例1 求证：x2 + 3 3x例2 a ,b R,且,求证：（二)综合法1.
6、综合法：运用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明措施一般叫做综合法.2用综合法证明不等式的逻辑关系是： 3综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,运用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明措施。例3已知,是不全相等的正数,求证:例4 已知a,bR,证明：log2（2a+2b)(三)分析法1.分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充足条件，把证明不等式转化为鉴定这些充足条件与否具有的问题。2用分析法证明不等式的逻辑关系是：3分析法的思维特点是：执果索因。4分析法的书写格式： 要证明命题为真， 只需要证明命题为真,从而有 这只需要证明命题为真,从而又有 这只需要证明命题A为真.而已知A为真，故命题B必为真。例5 求证例若a,b，c是不全等的正数,求证(四)反证法1.定义：反证法:一般地，假设原命题不成立,(即在原命题的条件下，结论不成立），通过对的的推理，最后得出矛盾,因此阐明假设错误，从而证明了原命题成立,这样的证明措施叫做反证法。2.反证法证题的基本环节：1.假设原命题的结论不成立；(假设）2.从这个假设出发,通过对的的推理，推出矛盾;(归缪）因此阐明假设错误,从而证明了原命题成立.（结论）例7求证：不也许成等差数列.例、已知。求证:中至少有一种不不小于2.
