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1、第2章系统的数学模型 (习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程, 图中xi表示输入位移, xo表示输出位移, 假设输出端无负载效应。题图2.3解：图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得c
2、1xi-xo-c2xo=mxo整理得md2xodt2+c1+c2dxodt=c1dxidt将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得ms2+c1+c2sXo(s)=c1sXi(s)于是传递函数为Xo(s)Xi(s)=c1ms+c1+c2图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：K1xi-x=cx-xoK2xo=cx-xo消去中间变量x，可得系统微分方程c(K1+K2)dxodt+K1K2xo=K1cdxidt对上式取拉氏变换，并记
3、其初始条件为零，得系统传递函数为Xo(s)Xi(s)=cK1sc(K1+K2)s+K1K2图(c)：以xo的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：K1xi-x+cxi-xo=K2xo移项整理得系统微分方程cdxodt+(K1+K2)xo=cdxidt+K1xi对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即xi(0)=xo(0)=0则系统传递函数为Xo(s)Xi(s)=cs+K1cs+(K1+K2)2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压和位移为输入量；电压和位移为输出量；和为弹簧弹性系数；为阻尼系数。题图2.4【解】：方法一
4、：设回路电流为，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：消去中间变量，整理得：方法二：由于无质量，各受力点任何时刻均满足，则有：设阻尼器输入位移为，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程结论：、互为相似系统，、互为相似系统。四个系统均为一阶系统。2.5试求下图（题图2.5）所示各电路的传递函数。题图2.5【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。(a) (b) (c) (d)2.6求图( 题图2.6) 所示两系统的微分方程。题图2.6解（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有f(t)-ky(t)=my(t)即my(t)+ky(t)=f(t)（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有f(t)-
5、ky(t)=my(t)其中k=k1k2k1+k2 my(t)+k1k2k1+k2y(t)=f(t)2.7 求图( 题图2.7) 所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J 为转动惯量。圆周半径为R，设系统输入为M（即M(t)），输出为（即(t)），题图2.7解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：M=J +Cm+Rk(R-x)kR-x=mx+cx消除中间变量x，即可得到系统动力学方程mJ(4)+(mCm+cJ)+(R2km+Cmc+kJ)+k(cR2+Cm)=mM+cM+kM2.8 求图( 题图2.8) 所示系统的传递函数（f(t)为输入，y2(t)为输出）。
6、解分别对m1，m2进行受力分析，列写其动力学方程有f-c2y2-c1y2-y1=m2y2c1y2-y1-ky1=m1y1对上两式分别进行拉氏变换有Fs-c2sY2s-c1sY2s-Y1s=m2s2Y2sc1sY2s-Y1s-kY1s=m1s2Y1s消除Y1s得Gs=Y2sFs=m1s2+c1s+km1m2s4+m2c1+m1c1+c2s3+(m2k+c1c2)s2+k(c1+c2)s2.9 若系统传递函数方框图如图(题图2.9) 所示, 求：(1) 以R(s)为输入，当N(s) = 0 时，分别以C(s)，Y(s)， B(s)，E(s) 为输出的闭环传递函数。(2) 以N(s)为输入，当R(s
7、) = 0 时，分别以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s) 为输出的闭环传递函数。(3) 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论。题图2.8 题图2.9解（1）以R(s)为输入，当N(s)=0时：若以C(s)为输出，有Gc(s)=C(s)R(s)=G1(s)G2(s)1+G1sG2sH(s)若以Y(s)为输出，有GY(s)=Y(s)R(s)=G1(s)1+G1sG2sH(s)若以B(s)为输出，有GB(s)=B(s)R(s)=G1(s)G2(s)H(s)1+G1sG2sH(s)若以E(s)为输出，有GE(s)=E(s)R(s)=11+G1sG2sH(s)（2）以N(s)为输入，当R(
8、s)=0时：若以C(s)为输出，有Gc(s)=C(s)N(s)=G2(s)1+G1sG2sH(s)若以Y(s)为输出，有GY(s)=Y(s)N(s)=-G1sG2sH(s)1+G1sG2sH(s)若以B(s)为输出，有GB(s)=B(s)N(s)=G2(s)H(s)1+G1sG2sH(s)若以E(s)为输出，有GE(s)=E(s)N(s)=-G2(s)H(s)1+G1sG2sH(s)（3）从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。2.1
9、0 求出图( 题图2 .10) 所示系统的传递函数。题图2.10解方法一：利用公式（2.3.1），可得GB(s)=Xo(s)Xi(s)=G1G2G3G41-G1G2G3G4H3+G1G2G3H2-G2G3H1+G3G4H4方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.16.b）GB(s)=Xo(s)Xi(s)=G1G2G3G41-G1G2G3G4H3+G1G2G3H2-G2G3H1+G3G4H42.11 求出图( 题图2 .11) 所示系统的传递函数。解根据方框图简化的规则，有图（题2.17.b）GB(s)=Xo(s)Xi(s)=G1G2G3+G41+(G1G2G3+G4)H3-G1G2G3H1H2
10、题图2.112.12 图(题图2 .12) 所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。代表汽车质量，B代表振动阻尼器，为弹簧，为轮子的质量，为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。题图2.12问题2 质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。m1代表汽车质量，B代表振动阻尼器，K1为弹簧，m2为轮子的质量，K2为轮胎的弹性，建立质点平移系统数学模型。解答：m1d2x1dt2=-Bdx1dt-dx2dt-K1(x1-x2)m2dx2dt2=ft-Bdx2dt-dx1dt-K1x2-x1-K2x2拉氏变换：m1s2X1s=-BsX1s-X2s-K1X1s-X2sm2s2X2s=Fs-BsX2s-X
11、1s-K1X2s-X1s-K2X2(s)(m1s2+Bs+K1) X1s-Bs+K1X2s=0-Bs+K1X1s+m2s2+Bs+K1+K2X2s=F(s)X1sF(s)=Bs+K1m1m2s4+Bm1+m2s3+K1m1+K1m2+K2m1s2+K2Bs+K1K2X2sF(s)=m1s2+Bs+K1m1m2s4+Bm1+m2s3+K1m1+K1m2+K2m1s2+K2Bs+K1K22.13 液压阻尼器原理如图(题图2.13)所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设为输入位移，为输出位移，k弹簧刚度，c为粘性阻尼系数，求输出与输入之间的传递函数。题图2.13解：1）求系统的传递
12、函数 活塞的力平衡方程式为经拉氏变换后有解得传递函数为式中，为时间常数。2.14 由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图(题图2.14)所示，试求闭环传递函数题图2.14解：U1sU0s+Uis=-Z1R01U2sU1s=-Z2R02U0sU2s=-R2R03式（1）（2）（3）左右两边分别相乘得U0sU0s+Uis=-Z1R0Z2R0R2R0即U0s+UisU0s=-R03Z1Z2R2 1+UisU0s=-R03Z1Z2R2所以：UisU0s=-R03Z1Z2R2-1U0sUis=-1R03Z1Z2R2+1=-Z1Z2R2R03+Z1Z2R2=-R1T1s+11C2sR2R03+R1T1s
13、+11C2sR2=-R1R2(T1s+1)C2sR03+R1R22.15 某位置随动系统原理方块图如图(题图2.15)所示。已知电位器最大工作角度，功率放大级放大系数为，要求：(1) 分别求出电位器传递系数、第一级和第二级放大器的比例系数和；(2) 画出系统结构图；(3) 简化结构图，求系统传递函数；题图2.15 位置随动系统原理图解：（1）K0=15V1650K1=3010=3 K2=2010=2（2）es=is-0sUss=K0esUas=K1K2KsUssUas=RaIas+LasIas+EbsMms=CmIasJs20s+fs0s=Mm(s)-Mc(s)Ebs=Kb0s系统结构图如下：
14、（3）系统传递函数0s/is0sis=K0K1K2KsCms(Las+Ra)(Js+f)1+CmKbs(Las+Ra)(Js+f)1+K0K1K2KsCms(Las+Ra)(Js+f)1+CmKbs(Las+Ra)(Js+f)=K0K1K2KsCmsLas+RaJs+f+CmKb1+K0K1K2KsCms(Las+Ra)(Js+f)+CmKb=K0K1K2KsCmsLas+RaJs+f+CmKb+K0K1K2KsCm2.16 设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图(题图2.16)所示，要求：(1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；(2)画出系统结构图（设可控电路传递函数为；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为和）；(3)简化系统结构图，求系统传递函数。题图2.16 直流电动机调速系统原理图解：（1）速调UST(s)Uis-Ufs=Z1R=R1+1C1sR=R1C1s+1RC1s=T1s+1RC1s流调ULT(s)USTs-Udlfx(s)=Z2R=R2+1C2sR=R2C2s+1RC2s=T2s+1RC2s（2）系统结构图如下(3)简化结构图，求系统传递函数s/Ui(s)因为求系统传递函数s/Ui(s)，所以令Mc=0，系统结构图
