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1、全国高中数学联合竞赛（四川初赛)(月22日下午14:3016:3）题 目一二三总成绩1311516得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题),全卷满分1分. 2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线.得 分评卷人 一、单选题（本大题共6个小题，每题5分，共30分)1、在中,设内角、B、C的对边长分别为a，b,c命题：B+CA,且b=2a；，命题q：是正三角形,则命题p是命题的 【 】A、充要条件 B、充足不必要条件 C、必要不充足条件6 D、既不是充足条件也不是必要条件2、若i为虚数单位，复数,则的值是 【 】A、-1、-
2、C、iD、3、已知函数当时,记的最小值为m，则的最大值是 【 】A、-2B、0、D、14、对任意正整数n与k（),表达不超过，且与n互质的正整数的个数,则 【 】 、11 B、3C、14D、95、设数列满足： 其中x表达不超过实数x的最大整数,为前n项和，则的个位数字是 【 】A、 B、2C、5D、56、已知是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一种公共点,且,则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是 【 】 A、 B、C、1D、得分评卷人二、填空题(本大题共6个小题，每题5分,共30分）7、在的展开式中的系数是 （用品体数字作答)8、若实数构成以2为公比的等比数列,构成等比数列,则的值为 9、已
3、知正四棱锥-CD侧棱长为4,ASB=,过点作截面与侧棱B、D分别交于E、F、G，则截面AEFG周长的最小值是 10、已知的外心为O，且0，则的值是 11、实数满足,则的最大值是 12、对于任何集合S，用表达集合S中的元素个数,用n(S)表达集合S的子集个数.若、B、C是三个有限集,且满足条件：;则的最大值是 得分评卷人 三、解答题(本大题共4个小题,每题20分,共80分)1、设等比数列的前项和为,且（为常数）,记 （1)求数列的前项和； （2)若对于任意的正整数，均有成立,14、已知、为正实数，求证：、已知抛物线y2=2x过定点C(1,)，在抛物线上任取不同于点的一点A,直线C与直线=x+3交
4、于点P，过点P作轴的平行线交抛物线于点B（）求证：直线A过定点；（)求ABC面积的最小值.6、已知为实数，函数f(x)=|2-ax|-lnx,请讨论函数f（x)的单调性. 全国高中数学联赛（四川)初赛试题参照答案及评分原则阐明：1、评阅试卷时,请根据评分原则选择题和填空题只设分和分两档；其他各题的评阅,请严格按照评分原则规定的评分档次给分，不要再增长其他中间档次.2、如果考生的解答题措施和本解答不同,只要思路合理,环节对的,在评阅时可参照本评分原则合适划分档次评分,5分一种档次，不要再增长其他中间档次.一、选择题(本大题共6个小题，每题5分,共30分）1、A 2、D 、C 4、C 5、 6、B
5、 二、填空题(本大题共6个小题，每题分，共3分） 7、180 8、 9、 、 11、 2、 三、解答题(本大题共4个小题,每题20分，共0分）1、设等比数列的前项和为，且(为常数），记 (1）求数列的前项和； （2)若对于任意的正整数,均有成立，求实数的最大值.解:()由条件易知,又由得. 5分于是.故，.因此 由-得：，故.因此,数列的前项和为 10分（) 由于，构造,则, 15分于是严格单增,则的最小值为,即实数的最大值是 20分1、已知、为正实数，求证：.证明：(1）先证： 等价于证明:， 令，由不等式知结论成立. 5分 （）再证: (*）由于不等式是轮换对称的,不妨设，则当时，结论显然
6、成立；当时,令,则，, 1分故均不小于0. 不等式（*)变为： 只需证:， 1分 注意到:,则, 同理:，因此，原不等式成立 2分15、已知抛物线y2=2过定点C(,2），在抛物线上任取不同于点C的一点A，直线AC与直线=+交于点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点（1）求证:直线B过定点;（2)求A面积的最小值解:（1）由抛物线2=x过定点C(1,2)，可得抛物线方程为2=4x设点A坐标为(,y0)（02），则直线A的方程为y-=(-）,即-2=(x-1),与y=+3联立解得P点坐标为(,). 5分因此B点坐标为（,)当=12时，A坐标为(3,y0)，点坐标为(,)，直线过定点Q(3,2）当
7、2时，直线B的方程为y- 0=(x-）,化简得,y- y0=（4-),(或:-y0=(-),）易得,直线AB也过定点Q(3,2). 0分法2：由抛物线2=x过定点(,2）,可得抛物线方程为y2=x.设直线AB的方程为x=y+,与抛物线方程联立得，y2-my-4=设A(x1,y1)，(x2,2），则y+y2=4m，y1y2=-,P点坐标为B(2-3,2)，由于A过定点，因此=，又1=y+,因此（m-1）y1y2-（-4)y1+(a+1）y2-2-=0. 5分将1y2=-a，y=-y1代入上式，得(-2m+3-a)y1+(2a+4m-6)=.即(-m+3-a）(1-2)=.因此式对任意12都成立，
8、因此-m+3-a=0,即3=2m+，因此直线=my+a过定点Q(，) 1分（2）由(）可设直线AB的方程为x-=m(y-)，与抛物线方程联立得y2-4my+4(2m-3)=.则y+y=4m，1y2=4(2m-),ABC=|CQ|y1-y|=y-y2|=4 因此当m=1时,ABC面积的最小值为4 2分16、已知为实数,函数f(）=|2-ax|-lnx,请讨论函数f(x)的单调性.解：由条件知函数的定义域为.（1) 若a0，则f(x)=-ax-nx， 于是，令，得,因此，在(，)上单调递减，在（,+）上单调递增分 (2)若a0，则f(x)= ， 先讨论(x)=x2-ax-lnx （xa）的单调性g (x)=2-a-=令g()=，得x=0,当a,即0时,h（x）=-x2+ax-lnx （0x时，令h()= 0，得a,，因此(x)在(0,),（,a)上单调递减，在(，）上单调递增. 分综上可得： 当时，f(x)在(，)，(,a）上单调递减，在(,)，（a，+）上单调递增 0分
