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1、高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（1）若A，则有，使得当时，；（2）若有使得当时，。2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特殊留意判定极限是否存在在：（1）数列是它的全部子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”（2）(3) (4) 单调有界准则（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不须要驾驭）。极限存在的充分必要条件。是：二解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。只能在乘除时候运用。例题略。2.洛必达（Lhospital）法则（大题目有时候会
2、有示意要你运用这个方法） 它的运用有严格的运用前提。首先必需是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近状况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不行能是负无穷。其次,必需是函数的导数要存在，假如告知f（x）、g（x）,没告知是否可导，不行干脆用洛必达法则。另外，必需是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且留意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种状况：（1）“”“”时候干脆用(2)“”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即；(3)“”“”“”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即，这样就
3、能把幂上的函数移下来了，变成“”型未定式。3.泰勒公式(含有的时候，含有正余弦的加减的时候） ； cos=ln（1+x）=x-(1+x)=以上公式对题目简化有很好帮助4.两多项式相除:设，P（x）=, (1)（2）若，则5.无穷小与有界函数的处理方法。例题略。面对困难函数时候，尤其是正余弦的困难函数与其他函数相乘的时候，肯定要留意这个方法。面对特别困难的函数可能只须要知道它的范围结果就出来了。6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设，求 解：由于，由夹逼定理可知 （2）求 解：由，以及可知，原式=0 (3)求解：由,以及得，原式=17.数列
4、极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q肯定值要小于1）。例如： 求 。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。8.数列极限中各项的拆分相加（可以运用待定系数法来拆分化简数列）。例如： =9.利用极限相同求极限。例如： （1）已知，且已知存在，求该极限值。 解:设=A，（明显A）则，即，解得结果并舍去负值得A=1+ （2）利用单调有界的性质。利用这种方法时肯定要先证明单调性和有界性。例如 设 解：（i）明显（ii）假设则，即。所以，是单调递增数列，且有上界，收敛。设，（明显则，即。解方程并舍去负值得A=2.即 10.两个重要极限的应用。 （1） 常用语含三角函数的“” 型未定式(2)
5、，在“”型未定式中常用11.还有个特别便利的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，快于n！,n！快于指数型函数(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不肯定就只须要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限。解：设。原式=13利用定积分求数列极限。例如：求极限。由于，所以14.利用导数的定义求“”型未定式极限。一般都是x0时候，分子上是“”的形式，望见了这种形式要留意记得利用导数的定义。（当题目中告知你告知函数在详细某一点的导数值时，基本上就是示意肯定要用导数定义）例:设存在，求解：原式= =
