《第八章---回归方程的函数形式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章---回归方程的函数形式（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章回归方程的函数形式回忆参数线性模型和变量线性模型(见5.4)。我们所关注的是参数线性模型，而并不要 求变量Y与X一定是线性的。在参数线性回归模型的限制下，回归模型的形式也有多种。我们将特别讨论下面几种形式的回归模型：(1) 对数线性模型(不变弹性模型)(2) 半对数模型。(3) 双曲函数模型。(4) 多项式回归模型。上述模型的都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。8.1三变量线性回归模型以糖炒栗子需求为例，现在考虑如下需求函数：Y = X B2( 8 - 1 )此处变量Xi是非线性的。但可将式(8 - 1 )做恒等变换表示成另一种形式：lnYi= lnA+B2lnXi( 8 - 2
2、)其中，ln表示自然对数，即以e为底的对数；令B1= lnA( 8 - 3 )可以将式(8 - 2 )写为：lnYi = B1 + B2lnXi( 8 - 4 )加入随机误差项，可将模型(8 - 4 )写为：lnYi = B1+B2lnXi+ui( 8 - 5 )(8 - 5 )是一个线性模型，因为参数81和B2是以线性形式进入模型的；形如式(8 - 5 )的 模型称为双对数模型或对数-线性(log-linear )模型。一个非线性模型可以通过适当的变换转变为线性(参数之间)模型的：令 Yi* = lnYi ,Xi* = lnXi贝M 8 - 5 )可写为：Yi* = B1 + B2 Xi*
3、+ ui( 8 - 6 )这与前面讨论的模型相似：它不仅是参数线性的，而且变形后的变量Y*与X*之间也是 线性的。如果模型(8 - 6 )满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二乘法来估计 它，得到的估计量是最优线性无偏估计量。双对数模型(对数线性模型)的应用非常广泛，原因在于它有一个特性：斜率B2度量了丫对乂的弹性。如果Y代表了商品的需求量，X代表了单位价格，Y代表Y的一个小的变动，AX代表X的一个小的变动（AY/AX是dY/dX的近似），E是需求的价格弹 性，定义弹性E为：E= Y100/YX100 / XY X=Y=斜率乂 X( 8 - 7 )Y对于变形的模型(8 - 6)B
4、.Y*lnYB2X*lnX=Y/Y = Y X、x/x TY可得合2是Y对X的弹性。因为lnY d lnY 1 Q Y dYY lnY = Y所以对数形式的改变量就是相对改变量：图8 - 1M描绘了函数式（8 - 1 ），图8 - 2 b是对式（8 - 1 ）做对数变形后的图形。 的直线的斜率就是价格弹性的估计值（一B2）。YtaT价格砂价格（对数）b）图81不变弹性模型由于回归线是一条直线(Y和X都采取对数形式)，所以它的斜率(一B2)为一常数；又由于 斜率等于其弹性：所以弹性为一常数一它与乂的取值无关。由于这个特殊的性质，双对数模型(对数线性模型)又称为不变弹性模型例8.1对炒栗子的需求回
5、顾炒栗子一例的散点图，不难发现需求量和价格之间是近似线性关系的，因为并非所 有的样本点都恰好落在直线上。如果用对数线性模型拟合表8-1给出的数据，情况又会怎样？需求量F价格X1117hiZ4913.891 80.000 (453.806 70.693 4431784 21.09S C3943.663 61.386 j3S53.637 61,609 匕3763.610 91.791 3473.52641.945 33S3.496 52.079-3093.401 22.197；29103.367 32.302 (OLS回归结果如下：ln Yi = 3.9617 - 0.2272lnXise = (
6、0.0416) (0.0250)( 8 - 8 )t = (95.233) -(9.0880)r2 = 0.9116可知价格弹性约为一0.23,表明价格提高1个百分点，平均而言需求量将下降0.23个百分 点。截距值3.96表示了lnX为零时，lnY的平均值，没有什么具体的经济含义。r2=0.9166，表示logX解释了变量logY91%的变动。对数线性模型的假设检验线性模型与对数线性模型的假设检验并没有什么不同。在随机误差项服从正态分布(均 值为0，方差为2)的假定下，每一个估计的回归系数均服从正态分布。如果用 2的无偏估计量S 2代替，则每一个估计的回归系数服从自由度为(nk)的t 分布，其
7、中k为包括截距在内的参数的个数。在双变量模型中，k为2,在三变量模型中，k 为3，等等。根据式(8 - 8 )的回归结果，很容易检验每一个估计的参数在5%的显著水平下，都显著 不为零，t值分别为9.08(b2)，95.26(b1)，均超过了临界值2.306 (自由度为8，双边检验)。8.3多元对数线性回归模型双变量对数线性回归模型很容易推广到模型中解释变量不止一个的情形。例如，可将三 变量对数模型表示如下：lnYi= B1+ B2lnX2i+ B3lnX3i+ ui ( 8 - 9 )偏斜率系数B2、B3又称为偏弹性系数。B2是Y对X2的弹性(X3保持不变)，即在X3为常量时，X2每变动1%，
8、Y变化的百分比。由于 此时X3为常量，所以称此弹性为偏弹性。类似地，B3是Y对X3的(偏)弹性(X2保持不变)。简而言之，在多元对数线性模型中，每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条 件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。例8.2柯布-道格拉斯生产函数模型(8 - 9)是著名的柯布-道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas production function)(C-D函 数,Y=B1X2b2X3b3)。令Y表示产出，X2表示劳动投入，X3表示资本投入，式(8 -9 )反映了 产出与劳动力、资本投入之间的关系。表8-2给出19551974年间墨西哥的产出Y，用国内生产总值GDP度量，劳
9、动投入X2, 以及资本投入乂3的数据。得到如下回归结果1：lnYt = -1.6524 + 0.3397 lnX2t + 0.8640 lnX3tse=t =P=R2 =(0.6062)(-2.73)(0.014)=0.994(0.1857)(1.83)(0.085)(0.09343)(9.06)( 0.000 )(8-10)年份GDP】，就业人数/固定资产的1955114 04383101S2 113195612 04108 529193 7491957129 1878 738205 192195S134 7058 952215 1301959139 9609 171225 02119601
10、50 5119 569237 0261961157 S979 527248 S971962165 2869 662260 661196317S 49110 334275 4661964199 45710 981295 3781965212 32311 746315 7151966226 97711 521337 6421967241 19411 540363 599196S260 S8112 066391 8471969277 49812 297422 3821970296 53012 955455 0491971306 71213 338484 6771972329 03013 738520
11、 5531973354 05 715 924561 5311974374 97714 154609 S25资料来源： Vicror J.Elias Sources of Growth: A Srndy of Seven Latiu AtneFicaa Economies , (International Center for Economic Growth, ICS Press, San Francisco, 1992.自表E5, E12t E14a 1960年不变价.单位为百万比索。 单位为千人，偏斜率系数0.3397表示产出对劳动投入的弹性，即在资本投入保持不变的条件下，劳动 投入每增加一
12、个百分点，平均产出将增加3 4%。类似地，在劳动投入保持不变的条件下， 资本投入每增加一个百分点，产出将平均增加0.85个百分点。将两个弹性系数相加，得到一个重要的经济参数一规模报酬参数(returns to scale parameter)，它反映了产出对投入的比例变动。如果两个弹性系数之和为，则称规模报酬不 变(例如，同时增加劳动和资本为原来的两倍，则产出也是原来的两借；如果弹性系数之和 大于1，则称规模报酬递增(increasing returns to scale)。如果弹性系数之和小于1，则称规模报 酬递减(decreasing returns to scale)。本例中，两个弹性系
13、数之和为1.185 7,表明当时墨西哥经济是规模报酬递增的。R2值为0.995，表明(对数)劳动力和资本解释了大约99.5%的(对数)产出的变动，表明了 模型很好地拟合了样本数据。8.4半对数模型：被解释变量是对数形式用来测量被解释变量的增长率(相对变动率)例8.4美国消费信贷的增长率表8-3给出了美国19731987年间消费者信贷的数据。现求此期间信贷的增长率(Y)。复利计算公式：Yt= Y0 ( 1+ r) t( 8 - 11 )其中，Y0Y的初始值Yt第t期的Y值rY的增长率(复利率)将式(8 -11)两边取对数，得：lnYt= lnY0 + tln(1+r)令B1= lnY0B2=ln
14、(1+r)可得lnYt=B1+B2t引进随机误差项，得：lnYt=B1+B2t+ut( 8 - 12 )年份Y年份F1973190 6011981366 5971974199 3551982381 1151975204 96319S3430 382197622S 1621984511 7681977263 8081985592 409197830S 272198&646 05519初347 50719S7685 5451980349 386用普通最小二乘法来估计模型，得到如下回归结果:InYt = 12.007 + 0.094 6tse = (0.0319) (0.0035)t = (376.40) (26
