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1、新教材适用高中选修数学阶段质量检测（三） 导数及其应用(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若f(x)sin cos x，则f(x)等于()Asin xBcos xCcos sin x D2sin cos x解析：选A函数是关于x的函数，因此sin 是一个常数2以正弦曲线ysin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A. B0，)C. D.解析：选Aycos x，cos x1,1，切线的斜率范围是1,1，倾斜角的范围是.3函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f
2、(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A1个 B2个C3个 D4个解析：选A设极值点依次为x1，x2，x3且ax1x2x3b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点4函数f(x)x2ln x的单调递减区间是()A. B.C. ，D.，解析：选Af(x)2x，当0x时，f(x)0，故f(x)的单调递减区间为.5函数f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是()A1 B.C0 D1解析：选Af(x)312x2，令f(x)0，则x(舍去)或x，f(0)0，f(1
3、)1，f1，f(x)在0,1上的最大值为1.6函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3处取得极值，则a()A2 B3C4 D5解析：选Df(x)3x22ax3，f(3)0.3(3)22a(3)30，a5.7函数f(x)ax3ax22ax1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析：选Df(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即0，解得a. 故选D.8.已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、
4、B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.9定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1解析：选B令g(x)2f(x)x1，f(x)，g(x)2f(x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)x1，故选B.10某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A6千台 B7千台C8千台 D9千
5、台解析：选A设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)18x22x3，y36x6x2，令y0得x6或x0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，)上是减函数，x6时y取得最大值11已知定义在R上的函数f(x)，f(x)xf(x)0，若ab，则一定有()Aaf(a)bf(b) Baf(b)bf(a)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)解析：选Cxf(x)xf(x)xf(x)f(x)xf(x)0，函数xf(x)是R上的减函数，ab，af(a)bf(b)12若函数f(x)，且0x1x2b BabCab Da，b的大小不能确定解析：选Af(x)，令g(x)xcos xsin x，
6、则g(x)xsin xcos xcos xxsin x.0x1，g(x)0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)g(0)0，故f(x)b，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在题中的横线上)13若f(x)x3f(1)x2x5，则f(1)_.解析：f(x)x22f(1)x1，令x1，得f(1).答案：14曲线C：y在点(1,0)处的切线的方程为_解析：由y，得y，所以yx11，即切线l的斜率为1.又切线l过点(1,0)，所以切线l的方程为yx1，即xy10.答案：xy1015已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)xsin x，设af(1
7、)，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系是_解析：f(2)f(2)，f(3)f(3)，因为f(x)1cos x0，故f(x)在上是增函数，2130，f(2)f(1)f(3)，即cab.答案：ca0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点解：(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，
8、f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1， 上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1， 上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1， 上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点19(本小题满分12分)某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，
9、相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所以座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域(2)当k100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低解：(1)设摩天轮上总共有n个座位，则x，则n，y8kkk2，定义域为.(2)当k100时，则y100，令f(x)1 024，则f(x)512，令f(x)0，所以xx，当x时，f(x)0，即f(x)在x上单调递增，所以总造价y的最小值在x时取到，此时座位个数为64个20(本小题满分12分)已知函数f(x)ln x(a0)(1)若a1，求函数f(x)的单调
10、区间(2)若以函数yf(x)(x(0,3)图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值解：(1)当a1时，f(x)ln x，定义域为(0，)，f(x)，当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)由(1)知f(x)(0x3)，则kf(x0)(0x03)恒成立，即amax.当x01时，xx0取得最大值，所以a，所以a的最小值为.21(本小题满分12分)已知函数f(x)x2mln x，h(x)x2xa.(1)当a0时，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)h(x)，得m在(1，)上恒成立令g(x)，则g(x)，当x(1，e)时，g(x)0；当x(e，)时，g(x)0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，)上递增故当xe时，g(x)的最小值为g(e)e.所以me.即m的取值范围是(，e(2)由已知可得k(x)x2ln xa.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数(x)x2ln x与直线ya有两个不同的交点(x)1，当x(1,2)时，(x)0，(x)递减，当x(2,3)时，(x)0，(x)递增又(1)1，
