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1、四. 小行星的轨道问题（交纸质文档）一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道 平面内建立一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上 取天文测量单位（1 天文单位为地球到太阳的平均距离：9300 万哩）。他在不同的时间对小行星作五次观测，得到轨道上 五个点的坐标分别为（5.764，0.648），（6.286，1.202），（6.759， 1.823），（7.168，2.526）与（7.408，3.360）。由开普勒第一 定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程并画出其轨迹 图。解：设行星的椭圆轨道方程为ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0;（1）将上述九个点的坐标一一代入椭圆轨
2、道方程，得到一个关于 a,b,c,d,e,f 的其次线性方程组，这个方程组有九个方程，如果这个方程组的秩等于5,那么 在这九个方程中随便找五个方程解出a,b,c,d,e,f,就得到椭圆的方程式。（2）如果这个方程组的秩大于5，那么不妨设g（x,y）二ax2+by2+cxy+dx+ey+f; 将上述九个点的坐标分别代入g（x,y）,得到9组等式，然后再将这9组等式平方 后相加，记为 s;根据最小二乘法原理，：令s分别对a，b，c，d，e，f求导后的代数式等于零。得到一个由五个五元一 次方程构成的方程组，解这个方程组求出参数值，这就是椭圆方程中各参数的最 小二乘估计，由这组估计值所确定的椭圆方程能
3、够保证误差的平方和最小。小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位(一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787X lOiim).在5个不同的时间对小行星作了 5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表 6.1.表 6.1 坐标数据x1x2x3x4X坐标5.7646.2866.7597.168y1y2y3y4Y坐标0.6481.2021.8232.5267.408y53.360由Kepler (开普勒)第一定律知，小行星轨道为一椭圆现需要建立椭圆的方程以供研究(注：椭圆的一般方程可表示为ax 2
4、 + 2a xy + a y 2 + 2a x + 2a y +1 = 0 .12345问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点 的坐标数据：( x1, y1) ,( x2, y2) ,( x3, y3) , ( x4, y4) ,( x5, y5) .由Kepler第一定律知，小行星轨道为一椭圆而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方 程为aix2 + 2a2xy + a3y2 + 2a4x + 2a5y +1 = 0 为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得ax 2 + 2a x y + ay 2 + 2a x + 2a y = -1
5、,1 12 1 13 14 15 1a x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1,1 22223 24 25 2 a x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1,13233334353a x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1,14244344454a x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1.15255354555这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵x 22 x y1 11x 22 x y2 2 2x 22 x y3 3 3x 22 x y4
6、 4 4x 22 x y5 5 5y122x12 y1a1-1y22x2 ya-12222y22x2 ya=-13333y22x2 ya-14444y522x52 y5 Ia5-1求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还 必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:竺+Y2 二 ia 2b2由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点，这时可以根据椭圆的长半轴a和短半轴b计 算出小行星的近日点和远日点距离，以及椭圆周长L .根据二次曲线理论，可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:九X 2 +九Y 2 +D九C1所以,椭圆长半轴:a;椭圆短半轴：b =12D九C
7、2;椭圆半焦矩:c = a2 - b2 .33.22377.47010.419911.5281.29239.513815.11151.444812.57202.404045.684124.64333.323313.51803.646051.380236.21276.380714.33605.052055.950450.265611.289614.96006.7200计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵A使用计算机可求得(a ,a ,a ,a ,a )二(0.6143,0.3440,0.6942,1.6351,0.2165). 12345从而a2a30.6143 0.3440、0.34400.6942 丿|C| 二 0.3081, C 的特征值珀二 0.3080,、二 1.0005.a3a5a3a510.6143二0.34401.6351 0.3440 1.63510.69420.2165 0.21651D| = 1.8203.于是，椭圆长半轴a = 19.1834，短半轴b = 5.9045，半焦距c = 18.2521 .小行星近日点距 和远日点距为 h = a c = 039313, H = a + c = 37.4355.最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值 为 84.7887.
