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1、微专题利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题模型一 “一线两点”型（一动+两定）类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A, B位于直线l异侧，在直线l上找一点P,使PA+PB值最小. 【解题思路】根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值即为线段AB的长.连接 AB交直线l于点P,点P即为所求.针对训练：（第1题图）1、如图，等边 ABC的边长为4, AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E 是AB边上一点，且AE = 2,贝V线段EF+CF的最小值为.类型二同侧线段和最小值问题（将军饮马模型）问题：两定点A, B位于直线l同侧，在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小. 【解题思路】将
2、两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决.作点B关于l 的对称点B,连接AB,与直线l的交点即为点P.作”芙于直线7的对称点匕连.4 n 接鮎：芍直跖 交于点户第2题图） 点D, E分别是AB, 上找一点P,使PA+PE的值最小，则这个最小值为3、如图，在边长为2的菱形ABCD中，ZDAB = 60，E是AB边上的一点，且 AE = 1，点Q为对角线AC上的动点，则 BEQ周长的最小值为.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线丨同侧，在直线丨上找一点P,使得|PA-PB|的值最 大.【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PAPB|WAB,当A，B，P 三点共线时，等号成立
3、卩|PAPB |的最大值为线段AB的长.连接AB并延长, 与直线丨的交点即为点P.针对训练:2、如图，在 RtABC 中，AC = BC = 4,第3题图）AC边的中点，在CD连接 并延妆： 与直薮/ 更于点户针对训练：（第4题图）4、如图，在矩形ABCD中，AB = 3, AD=4,连接AC，点0是AC的中点，M是AD上一点,且MD = 1, P是BC上一动点，则PM P0的最大值为。类型四 异侧差最大值问题问题：两定点A, B位于直线l异侧，在直线l上找一点P,使得|PAPB |的值最大. 【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决.作点#关于直线/ 的对称点圧 连接并延长一 与直线
4、交于点户针对训练：（第5题）5、如图，已知 ABC为等腰直角三角形，AC = BC = 4,ZBCD=15, P为CD上 的动点，贝川PAPB|的最大值为.模型二 “一点两线”型（两动+定）问题：点P是ZAOB的内部一定点，在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得 PMN周长最小.【解题思路】要使APHN周长最小，即PM+PN+MN值最小.根据两点之间线段 最短，将三条线段转化到同一直线上即可.针对训练6、如图，ZAOB = 3O。，点M, N分别是射线OA, OB 上的动点，OP平分ZAOB,且OP = 6,则厶PMN的周长最小值为.模型三 “两点两线”型（两动+两定）问题：点P, Q是ZA
5、OB的内部两定点，在OA上找点M,在OB上找点N,使得四边形PQNM周长最小.【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM+MN+NQ的最 小值即可，需将线段PM, MN, NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到 作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点.丿分别作点巴0 p 芙于o九of的 / 7对称点化（匕遵评 0占接吏。儿0B荷于点艇川Q针对训练：7、如图，在矩形ABCD 中，AB = 4, AD = 6, AE = 4, AF=2，点 G, H 分别是边 BC, CD 上的动点，贝V四边形EFGH周长的最小值为.（第7题图）课后练习:1.如图，在0O中，AB是
6、0O的直径，AB=8 cm, aC=CD=BD, M是AB上一动点,则CM+DM的最小值是.第1题图第3题图1 1 11 1 01X2.如图，已知点C(1, 0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A, B两点，D, E分 别是AB，OA上的动点，3.如图，在直角坐标系中，A( 3,1), B(-1，-3)，若D是x轴上一动点，C是y 轴上的一动点，则四边形ABCD的周长的最小值.4.如图，抛物线的顶点D的坐标为(一1, 4),抛物线与x轴相交于A, B两点(A在B 的左侧)，与y轴交于点C(0, 3).若点E的坐标为(0,3)，在抛物线的对称轴上求作一点 F，使得ACEF的周长最小，请求出点
7、F的坐标.课后练习答案：1. 8 cm【解析】如解图，作点C关于AB的对称点C,连接CD与AB相交于点M , 连接CM，DM,TCM+DM三CM，+DM，=CD，当M与 M重合时，CM+DM的值最小, 由垂径定理得，AC=AC,，:.bd=AC，VAB为0O的直径,：CD为0O的直径，：CM+DM的最小值是8 cm.第1题解图【解析】如解图，作点C关于OA的对称点C，关于直线AB的对称点C,连接CC交AB于点F, 直线AB的解析式为y=x+7, OA = OB=7, AB=7迈，VC(1, BC bfBF,.BF = 3*2，易知 ABO0),BC=6，易得BCFsBAO,. ba=bo，为等
8、腰直角三角形，过点F作FG丄x轴于点G,FG=BG=3,F(4, 3),VF是CC中 点，.可得C(7, 6).连接CC与AO交于点E,与AB交于点D,此时ADEC周长最小，f-k+b = 07k+b = 6，解得设直线DE的解析式为y=kx+b，VC(-1，0)，C(7, 6),：k 4 b 3，Alb=4直线DE的解析式为y=3x+3点D的坐标为岸，24).3.6逅 【解析】如解图，分别作A关于x轴的对称点E,作B关于y轴的对称点F, 连接EF交x轴于D,交y轴于C,连接AD, BC.在x轴，y轴上分别任取一点D, C连接 AD f, CD, BC,TAB+BC+CD +AD，三AB+BC
9、+CD+AD =AB+CF+CD+DE=AB+ EF,当点 D, C 分别与 D, C重合时，AB+BC+CD+AD 最小，TA( 3,1), B( 1, 3),.E(3, 1), F(1, 3),.AB=i： (3 +1) 2+( 1 + 3) 2=2：2,EF=、j (3 1) 2+(l + 3) 2=4迈，即四边形ABCD的周长的最小值为AB+BC+CD+ AD=AB+EF=6、./2.第3题解图4.解：设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+4,把 x=0, y=3 代入得：3=a(0+1)2+4,解得 a= 1抛物线的表达式为y=(x+1)2+4=x22x+3；如解图，作C关于对称轴的对称点C,在对称轴上任取一点F,连接EC交对称轴于点 F ,连接 CF , CF, EF, :CF+EF2CF+EF = CE，当点 F 与 F重合时，CF+EF的值最小，则ACEF的周长最小.C(0, 3),抛物线对称轴为直线x= 1, C (2, 3),易得CE的解析式为y=3x3,当 x= 1 时，y=3X(1) 3 = 0, F( 1, 0).第4题解图
