饿狼追兔问题数学建模

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1、数学建模饿狼追兔问题摘要本文研究饿狼追兔问题，是在给定狼兔相对位置，以及兔子巢穴位置的情况下求解的，狼的速度是兔子速度两倍，在不考虑其他任何因素的情况下研究狼能否追上兔子的问题。首先，我们对问题进行了适当的分析，然后根据已知条件建立了狼的运动轨迹微分模型。其次，根据建好的模型，运用MATLAB编程，然后仿真画出了饿狼和野兔的运动轨迹图。再次，用解析方法将建立的模型求解，并给出该问题的结论，准确的回答题目。最后，用数值方法求解，将所求与前面所求进行对比，也给出结论，回答题目。并将两种方法做相应比较。结论：野兔可以安全回巢关键词：算法 高阶常微分方程 1.1问题的提出 在自然界中，各种生物都有它的

2、生活规律，它们钩心斗角，各项神通，在饿狼追野兔的工程中，饿狼的速度是野兔的二倍，但是野兔有自己的洞穴，野兔在跑到自己洞穴之前被狼捉住，野兔就将会成为饿狼的囊中之物；如果野兔在饿狼捉住自己之前跑回到自己的洞穴，那么野兔就保住小命，得以生还。 图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，60）的位置；红线为饿狼的运动轨迹，图中的剪头表示饿狼追逐野兔的方向，饿狼从坐标为（100，0）的方向追逐野兔，饿狼的速度是野兔速度的二倍。建立数学模型需研究一下几个问题：（1）设野兔的速度我v0，饿狼的速度为v1，野兔

3、的奔跑方向是沿y轴正方向奔跑，而饿狼的方向是一直指向野兔的方向，即饿狼的运动的轨迹某一时候的切线指向同一时刻的野兔的位置。建立饿狼追野兔的运动轨迹微分模型。（2）根据建立的饿狼运动轨迹得微分模型，作出饿狼与野兔的运动轨迹图形。（3）用解析方法求解，即根据第二步作出的饿狼渔业突地运动轨迹图形，分析兔子能否安全回到巢穴，即野兔的运动曲线与饿狼的运动曲线的交点是在点（0，60）-野兔巢穴的上面还是下面。（4）用数值方法求解。根据第一步建立的关于二郎追野兔的运动轨迹微分模型，进行数学运算，讨论兔子能否安全回到巢穴，即所求交点的y值大于60还是小于60.1.2问题的分析（1）分析饿狼追野兔的运动模型。在

4、1.1中已经说了，饿狼追野兔过程中，野兔的目的是要在饿狼捉住自己之前跑到自己的巢穴，假如恶狼知道野兔巢穴的具体位置，根据题目所给，饿狼完全可以先兔子跑到其巢穴，然后在那里守株待兔，野兔则难逃饿狼之口。那样饿狼的轨迹就是一条直线，只需简单的数学计算就可以完成。（2）但这是一个理想化的实际问题，在这个问题中由于饿狼不可能知道兔子巢穴的具体位置，因此它的速度的方向永远是朝着兔子的，兔子一直向北跑，相对于饿狼来说兔的角度在时刻的变化，所以最终饿狼的轨迹是一条曲线。而兔子能否活下来，还是一个需要经过具体较复杂计算的问题。 1.3数值方法求解初始时刻(t=0)兔子位于原点(0,0)，饿狼位于(100,0)

5、；兔子以常速度v0沿y轴跑，饿狼在t时刻的位置为(x,y)，其速度为v1=2v0；饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则：饿狼在t时刻其追赶曲线的切线方程为Y-y=(dy/dx)*(X-x)=(dy/dt)/(dx/dt)*(X-x)其中(X,Y)为切线上动点。又饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则t时刻兔子(0,v0t)在切线上，所以v0t-y=(dy/dt)/(dx/dt)*(0-x)从而饿狼追赶轨迹由下方程组确定(dx/dt)*( v0t-y)= (dy/dt)*(-x) (1)(dx/dt)2+(dy/dt)2=v12 (2)由(1)有(dy/dx)*(-x)= v0t-y，两边

6、对t求导并化简(d2y/dx2)* (dx/dt) *(-x)= v0 (3)由(2)有 (dx/dt)21+(dy/dt)/(dx/dt)2=v12即dx/dt=-v1/1+(dy/dx)21/2 (注这里去负号，是由这个追赶曲线上图，决定的)代入(3)，并把v1=2v0代入并化简得(d2y/dx2)*x=1+(dy/dx)21/2/2 (4)这是一个二阶微分方程，它满足初始条件y(100)=0令p= dy/dx，这dp/dx= d2y/dx2，这(4)化为(dp/dx)*x=1+p21/2/2，可分离变量求得lnp+1+p21/2/2=0.5*lnx+c又p(100)=0，所以c=-ln1

7、0，从而p+1+p21/2/2=x1/2/10这p=( x1/2/10-10/x1/2)/2即dy/dx=( x1/2/10-10/x1/2)/2，从而y=(x-300)*x1/2/30+c，又y(100)=0则y=(x-300)*x1/2/30+200/3令x=0，得y(0)=200/360故兔子没有有危险1.4解析方法求解（matlab创新求解）在本题题目中给出了参考的matlab的方程式【注】常微分方程高阶初值问题的MATLAB库函数为：ode45。语法为：t,Y =ode45(odefun,tspan,y0)例如函数： function dy = rigid(t,y)dy = zero

8、s(3,1); % a column vectordy(1) = y(2) * y(3);dy(2) = -y(1) * y(3);dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);设置选项：options = odeset(RelTol,1e-4,AbsTol,1e-4 1e-4 1e-5);求解得：t,Y = ode45(rigid,0 12,0 1 1,options);画出解函数曲线图形：plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),-.,T,Y(:,3),.)但是我们决定不用题目中给的函数，而是采用另一个函数：r = dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond

9、2,., v)，这个函数的作用是把常微分方程（无论是一阶还是高阶）转化成不带有求导的一般性方程，但是一般情况下经过这种函数转化之后，得到的方程式比较复杂，但是如果把已知条件也带进dsolve函数中，得到的函数就会比较简单。另外还要注意的一点就是在matlab中的Dy，D2y都默认为是对t的求导，所以在用desolve函数的时候，要把所有的x换成t，然后还要借助y=subs（y,t,x）函数，把求得的函数式的自变量改为x。下面开始分析问题模型。由1.3中的(4)方程(d2y/dx2)*x=1+(dy/dx)21/2/2，并且有已知条件：y（100）=0；dy/dx（100）=0。故编写的matl

10、ab程序如下：y=desolve(t*D2y=sqrt(1+Dy2)/2,y(100)=0Dy(100)=0);y=subs(y,t,x)；得到y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3在饿狼的运动曲线上取点x=25，并借助matlab： y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3,x=25,y得到y=20.833，并且求得切线在（25，20.833）点的斜率为-3/4,故求得饿狼运动曲线在点（25，20.833）处的切线方程： z=0.75*(25-x)+20.833。在matlab环境下运行得到函数y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3，然后再编辑e

11、lang.m文件：x=linspace(0,100,500);y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3;z=0.75*(25-x)+20.833;plot(0,y,y,x,y,r,x,z,c)在matlab环境下调用elang.m文件elang得到如下图：由题意知，野兔的巢穴在点（0，60）处，由图中可以看出，在野兔到达自己的巢穴点(0,60)时，饿狼的运动曲线与y轴还没有交点，即饿狼还没有追上兔子，所以，由此可以回答课题提出的问题：野兔可以安全回到巢穴。1.5 模型的优点与改进优点：本模型适用范围较广，追击问题中可以较多应用，在辅助软件的求解下，结果很容易得出。改进：由于问题有些理想化，没有考虑实际的具体环境因素和自然因素对野兔和饿狼速度的影响。所以较问题复杂程度较低。在真正的实际问题中，本模型可以作为参考，把相关因素考虑进来，同时借助辅助软件同样能很快求解。参考文献：1方道元 (1958.4) 编著常微分方程2刘会灯 (计算机) 编著MATLAB编程基础与典型应用3数学建模原理与案例冯杰 (计算机教授) 编著- 5 -