混沌的本质特征与混沌概念的界定

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1、混沌的本质特征与混沌概念的界定张本祥 孙博文混沌理论是非线性科学的核心部分，它的理论及应用价值很大，但是迄今为止，对混沌概念 还没有公认的严格的定义，我们认为，对混沌概念的界定应从混沌现象的本质特征入手，从数学 和物理两个层次上考察，才有可能得出正确的完整的结论，本文将从运动学角度讨论混沌的本质 特征一一有界、非周期和敏感初条件，并籍此尝试对混沌概念的界定。、从混沌的LiYorke定义看数学混沌的本质特征现代科学意义上的混沌是个难以精确定义的概念，不同领域的科学家往往对其做出不同的定 义。1975年李天岩(TianyanLi)和约克(Yorke)给出了混沌的一个数学定义，这也是第一次赋予 混沌

2、这个词以严格的科学意义，混沌的李一约克定义如下：设连续自映射f：匚夫，I是R中的一个闭区间，如果存在不可数集合S匚1满足(1) S不包含周期点。(2) 任给X，X2巨S (X 乞)有lim时尸成1)-/容0=0J 4这里/W = /(/(*/()，表示t重函数关系。(3)任给X ES及f的任意周期点p EI有0r心则称f在s上是混沌的1。由李一约克的定义可见，他们是用三个方面的本质特征来对混沌进行刻划的:（一）非周期在李一约克对混沌映射的定义中，称f在S上是混沌的，所依据的三个条件中的两条是对非 周期的刻划：第（1）条表明混沌轨道排除了所有阶的周期点，第（3）条意味着混沌轨道与任意的周 期轨道

3、都不具有渐近关系，而是原则上可区分的。它们实际上是从周期性角度对非周期性进行的 刻划。我们可以这样来理解混沌轨道的非周期性：如果我们在无限精确的数学层次上跟踪一条混 沌轨道，我们经历的相点永远没有重复的，而且整条混沌轨道虽然在任意有限长的一段可能与某 条周期轨道无限接近，但是无限长的整条混沌轨道将与其产生有限大小的偏离，即在t一8时， 任意的混沌轨道与任意的周期轨道必然具有距离有限（非无限小）的相点。这样当我们要确定某个 混沌轨道上的相点时，只能跟踪轨道的全过程，而不可能利用任何具周期意义的、有可压缩性质 的所谓规律来准确预测。（二）敏感初条件李一约克定义中的第（2）条实际上就是对混沌轨道所具

4、有的“敏感初条件”的描述，即距离的 下确界为0的无限接近的两条轨道，其上确界却是有限的，大于0的，由符号动力学对一维抛物 线满映射的刻划，2我们也可以看到，分别代表两条混沌轨道的两个无限接近的符号序列，即两 个无限精确条件下才可区分的无理数，意味着在无限次迭代后，最后会有宏观层次上（对主体而 言）的可区分的差别：L（左）、C（中）、R（右），相点的L、C、R是在有限精确条件下，对主体来说 的可区分性。就是说，在1/2n的分辨率下，差值大于1/2n的两个初值，经n次迭代后，其符 号序列中至少会有一个符号不同，进一步地，李一约克的定义也表明混沌轨道中的相点与无理数 对应，无理数的最后（实际上不存在

5、最后）数字不同，就是不同的数，但这两个“最后”数字不同的 无理数代表了无限精确的情况，反映的是个无限过程，在这个无限过程下，数学上的混沌具有对 初始条件的敏感依赖性。（三）有界在李一约克定义中，“有界”（即有确定的边界）是作为定义的前提条件出现的，它设定了 f 是从I到（I匚R）的映射，而I是R中的一个闭区间，这表明f把I映射回I，所有的相点不能超 越I的确定边界，这个“有界”的前提条件的设定是必要的，如果没有这个限制条件，就不能保证 系统是混沌的，例如：映射f： xn+1=f（xn）=xn2，当X 1时，f会很快使Xn超越I的边界而趋 于8,这时xn的整个序列或说轨道X，X2,xn，.X8显

6、然仍具有非周期、敏感初条件等混沌 的本质特征，但是它的演化过程是发散的，不会形成混沌吸引子。可见，“有界”是混沌的不可或 缺的必要条件和本质特征之一。二、有限性条件下物理混沌的本质特征从李一约克给出的混沌的数学定义可见，其（2）（3）条都是在t一8情况下的结论，也就是说， 数学混沌是与无穷过程相联系的，这意味着不仅映射的次数t是无限的，而且相点的值的精确度 也可以是无限的。然而我们知道，现实世界是有限的，有限性及其结果蕴含于一切事物之中，在 相应的方面规定着一切事物的性质。3在真实的物理世界中，不仅映射的次数t是有限的，而且 相点的值的精确度也是有限的。那么，李一约克的数学混沌所具有的三个本质

7、特征，是否仍是有 限性制约下的物理混沌的本质特征呢？或者说，有限的现实系统的混沌是否仍具有这三个本质特 征呢?下面我们就分别来讨论。（一）有界从物理上说，一般地我们所研究的和能研究的都是本质上的回归行为，其现实的测度空间总 有确定的边界，而无界的本质上的非回归行为则没有一般意义，也就是说，任何一个现实系统的 状态变量的值不可能是绝对的无穷大，只能是局限于确定范围内的有限值，因而是有界的。再者，虽然混沌现象的主要特征是它的不稳定性方面，但是它也有稳定性的一方面，实际上 混沌是局部不稳定与整体稳定这一对矛盾的统一体，它的整体稳定性是混沌现象的一个重要方 面，是混沌系统所具有的稳定机制的反映。还以抛

8、物线满映射为例，它实际上就相当于特定的拉 伸与折叠变换（拉伸一倍，再对折），其中拉伸操作使系统敏感初条件，导致了混沌行为的不稳定 方面，而折叠操作却使系统的取值空间减小一半，把相点始终限制于最初的映射区间内，它导致 了混沌的稳定性方面。可见，具回归行为的现实物理系统的稳定机制及表观上的整体稳定性就是 物理上的“有界”，“有界”也是物理混沌的一个本质特征。（二）非周期在精确度有限、映射次数（也即轨道长度）有限的现实情况下，非零的有限的精确度虽然可能 平滑掉混沌轨道中相点的相应的有限大小的差别，从而在一定程度上“抑制”了混沌轨道的非周期 性，即任何有限长的一条轨道都可以用某种周期轨道来拟合，但是同

9、一条轨道只要它延伸到足够 长（不是无限长），它与用以拟合它的任意的周期轨道仍将产生足够的偏离，使两者成为可区分的。 就是说，在有限精确条件下混沌轨道仍具有非周期性，仍意味着不重复、不可压缩和无规律可循。 如果要以有限长的混沌轨道为条件来预测任意相点的位置，即依据有周期意义的、有可压缩性质 （能以有限反映无限）的规律来预测未来，则只能是不确定的即概率性的（条件概率小于1），而不 可能是确定的、非概率性的。（三）敏感初条件如上文所述，数学混沌敏感初条件表现为在t一8条件下，间距的下确界为0的两条轨道， 其上确界大于0。而在物理上，初始条件原则上的不精确性，加之混沌系统的非线性不稳定机制 的作用，使

10、初值的不精确性被迅速放大成为宏观层次的不确定性，这就是物理混沌的敏感初条件 的特征。1 .精确度有限的初始条件初始条件是初始时刻系统的状态，虽然任何物理对象都有其自然的初始条件，但是人们所知 道的初始条件原则上只能通过本质上的测量过程获得。由于反映着主体获得的客体的信息的初始 条件本质上具有这种测量性质，所以在以下几种情况下，任何现实系统的初始条件都不可能绝对 精确，即初始条件有对主体而言的处于简并状态的不可区分的精细结构。（1）物理对象固有的广延性导致的不精确性。物质的存在都有一定的局域性，都要占据一定 的空间、时间、能量等范围，所以事物在其测度空间中将有非0体积，如原子能级都有一定的非0宽

11、度。（2）测量过程直接导致的不精确性。因为“测量”本质上是主客体（测量者与被测系统）间的一种 相互作用，这种相互作用必须通过测量工具来进行，所以测量结果的精确度不可能高于测量工具 的精确度。虽然可以通过提高测量工具的精确性来提高测量结果的精确性，但是原则上这种不精 确性是不可能根本消除的，它是永远伴随测量过程而存在的。4（3）模糊性导致的不精确性。模糊性是模糊集合论中的一个基本概念，主要是指客观事物的 差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼”性，模糊性的存在是客观的、普遍的。5系统的模糊性导 致分辩率降低，进而使精确的相轨道描述成为不可能的或不必要的。（4）信息的不完全性导致的不精确性。为获得初始

12、条件所进行的测量总是有一定成本的，在 考虑成本的情况下，就会有信息的不完全性。因为任何相互作用都是有成本的，只有成本不受限 制的时候，我们才会在所有情况下获得完全的信息，但是现实中对初始条件的测量，测量主体愿 意付出和所能付出的成本都是有限的。所以在某些情况下，我们不可能获得完全的信息，而只能 获得有限成本条件下的不完全的信息，不完全的信息将直接导致不精确性。2. 敏感初条件的意义从稳定性角度考虑，混沌轨道是局部不稳定的，“敏感初条件”就是对混沌轨道的这种不稳 定性的描述。我们知道系统的具体动力学行为由“动力学方程+边界条件”给出，6其中，动力学 方程（这里指确定性的非线性系统）反映着该类系统

13、的运动规律，边界条件代表着系统所处的具 体环境，包括时间上的初始条件和空间上的边界条件。如果广义地把边界理解为初始时刻系统的 状态，那么系统的动力学描述就成为：“动力学方程+初始条件”，从而可以说，任何系统的具体 行为都是由其动力学方程和初始条件共同决定的，初始条件是个不可或缺的因素，但不是唯一的 因素，它要和动力学方程一起才能完全描述系统的动力学行为。初始条件的不精确性在具有指数放大作用的动力学方程即非线性机制的作用下，只需经历 一个有限过程（而不是无限过程），就可被放大成宏观层次上的（对主体来说有意义的）不确定性， 这就是物理混沌所具有的本质特征之一一一敏感初条件的意义。三、混沌概念的界定

14、我们认为对任何一个科学概念的界定，都应该是有主体、有原则、有本质特征的，三个要素 缺一不可，所以在首先讨论了混沌的本质特征后，这里将讨论混沌的主体和界定混沌概念的原则， 最后给出对混沌概念的界定。（一）混沌行为的主体有界、非周期、敏感初条件是混沌行为或状态所具有的本质特征，那么是不是一切具有这些 特征的行为或状态都可看作是混沌呢？即混沌行为的主体是什么呢?我们认为，应把混沌行为的主 体限定为“确定性的非线性系统”，因为：一方面，在严格的科学意义上被仔细研究过的混沌系统 都是确定性的非线性系统，另一方面，把那些机理不清的复杂行为当做混沌来处理是不严格和不 充分的。1 .确定性。是指具有因果关系的

15、完全决定论的情况，用概率论的语言讲，就是当事件A与 事件B存在着因果关系时，在事件B出现的条件下，A 一定出现，条件概率P（A/B）=1。72. 非线性。是相对于线性而言的，它可以从两个方面来表述，其一是叠加原理不成立，其 二是物理变量间的函数关系不是直线，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方8，非 线性是动力系统产生混沌现象的必要条件。3. 确定性的非线性系统。顾名思义，是指具有确定的非线性机制的系统，在物理上它有一 定的不变的非线性物理机制，在数学上可以表示成一定的非线性数学模型（如非线性微分方程、 非线性映射关系等）。任何一个系统抽象为数学模型后，它主要包括三类要素：控制参量、状

16、态 变量和控制参量与状态变量间的关系即机制，我们所认为的确定性系统是指这三类要素都明确的 系统，即由确定的数学方程描述的，其中没有未知的、不确定的机制和随机项的系统。混沌理论 告诉我们，在没有噪声和外界扰动情况下，确定性的非线性系统只有三种非过渡性的稳态行为， 即稳定的周期行为、不稳定的周期行为、非周期行为，这第三种行为就是我们讨论的混沌行为。（二）界定混沌概念的原则由于混沌理论还有一些重要的基本问题没有解决，同时不同领域的研究者从各自角度依各自 的需要进行定义，所以至今对混沌还没有一个严格的、普适的定义，在众多的对混沌的描述中， 有的严格一些，有的宽泛一些，但可以说都是不完备的、有缺陷的，并且有些定义之间是相互矛 盾的。为了摆脱“混沌概念的概念混沌”状态，使人们对混沌的本质特征有一个明晰化的统一的