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1、因式分解的常见变形技巧#每个学生都应该用的技巧二系数变换有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换体验题2体验过程分解因式4x2-i2xy+9y 2原式=(2x) 2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)小结系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。实践题2分解因式2lx2 + 0+(439“超级学习笔记”因式分解的常见变形技巧在因式分解学习过程中，除要掌握教材上介绍的三种基本方法：提公因式，公式法，分组分解法外，还常常要进行一些灵活的变换。下面就简单介绍一下这些常见的变换方法。掌握了这些变换方法后，这类因式分解问题基本可以迎刃
2、而解了。需要说明的是，要想熟 练掌握这些技巧，还需要同学们结合平时的练习去体验我们所讲的方法和思路。技巧一符号变换有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项 的系数，先看下面的体验题。体验题 1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指点迷津y-x= -(x-y)体验过程原式=(m+n) (x-y)-(m-n) (x-y)=(x-y)(m+n_m+n)=2n( x-y)小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。实践题1 分解因式：-a2-2ab-b2技巧三指数变换有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多
3、项式的结构每个学生都应该用的体验题3分解因式X4-y4指点迷津把X2看成(x2)2，把y4看成(y2)2，然后用平方差公式。体验过程原式=(x2)2-(y2)2,2 2 2 2=(x +y )(x -y )2 2=(x +y )(x+y)(x-y)小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。实践题3分解因式a4-2ab4+b4技巧四展开变换有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将 这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。体验题 4a(a+2)+b(b+2)+2ab指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2
4、a+b2+2b+2ab。然后分组。体验过程原式=a2+2a+b2+2b+2ab2“超级学习笔记”=(a+b) 2+2(a+b) =(a+b)(a+b+2)小结展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。实践题 4x(x-1)-y(y-1)技巧五拆项变换有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。体验题5 分解因式3a3-4a+1指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为 -4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。体验
5、过程 原式=3a3-3a-a+12=3a(a -1)+1-a =3a(a+1)(a-1)-(a-1) =(a-1)3a(a+1)-1 =(a-1)(3a 2+3a-1)每个学生都应该用的另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。原式=3a4a+4-33=3(a -1)-4(a-1)=3(a-1)(a 2+a+1)-4(a-1)2=(a-1)(3a +3a+3-4)2=(a-1)( 3a +3a-1)小结拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1，最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。实践题5分解因式 3a3+5a2-2技巧六添项变换有些多项式类
6、似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添 一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。体验题6分解因式x2+4x-12“超级学习笔记”指点迷津本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。体验过程原式=x2+4x+4-4-122=(x+2) -162 2=(x+2) 2-42=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)小结添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。实践题6 分解因式x2-6x+8实践题7分解因式a4+4技巧七换元变换有些多项式展开后较复杂，可考虑将
7、部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。体验题 7分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1指点迷津直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。体验过程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1每个学生都应该用的=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+12 2=(x +5x+4)(x +5x+6)+1* 令 x2+5x=m.上式变形为(m+4)(m+6)+12m +10m+24+1 =(m+5)2小结*式也可以这样变形，令 原式可变为：x2+5x+4=mm(m+2)+12=m +2m+1=(m+1)2=(x +5
8、x+5)换元法常用于多项式较复杂，其中有几项的部分相同的情况下。如上题中的x2+5x+4与x2+5x+6就有相同的项 x2+5x.，换元法实际上是用的整体的观点 来看问题。实践题8分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9“超级学习笔记”=(x +5x+5)实践题答案实践题1 分解因式：-a2-2ab-b2实践详解各项提岀符号，可用平方和公式.原式=-a -2ab-b2 2=-(a +2ab+b )2=-(a+b)实践题2分解因式1 x2 xy y439实践详解原式=(纤+2丄+(纤2233=(X+y)2 3每个学生都应该用的“超级学习笔记”实践题3分解因式 a4-2a4b4+b4指点迷津把
9、a4看成(a2)2, b4=(b2)2实践详解原式=(a2-b2)22 2=(a+b) 2(a-b)2实践题4x(x-1)-y(y-1)指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：x -x-y +y。然后重新分组实践详解原式=x 2-x-y 2+y2 2=(x -y )-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)实践题5分解因式 3a3+5a2-2指点迷津三次项的系数为 3, 二次项的系数为 5，提岀公因式 a2后。下一步没法进行了。所以我们将5a2拆成3a2 +2a2,化为3a3+3a2+2a2-2.实践详解原式=3a3+3a2+2a2-22 2=3a (a+1)+
10、2(a -1)=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)2=(a+1)(3a +2a-2)实践题6实践详解分解因式x2-6x+8 原式=x2-6x+9-9+8因式分解的常见变形技巧#2=(x-3) -12 2=(x-3) 2-12=(x-3+1)(x-3-1)=(x_2)(x_4)实践题7分解因式a4+4原式=a4+4a2+4-4a22 2 2=(a +2) -4a22=(a +2+2a)(a +2-2a)22=(a +2a+2)(a -2a+2)实践题8分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9指点迷津将x(x+5)结合在一起，将(x+2)(x+3)结合在一起实践详解原式=x(x+5)(x+2)(x+3)+92 2=(x +5x)(x +5x+6) +9令 x2+5x=m上式可变形为每个学生都应该用的m(m+6)+92=m +6m+9 =(m+3)2=(x +5x+3)“超级学习笔记
