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1、word四边形中的相似问题专题题型一：平行四边形中的相似问题例142006威海：如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ1试证明PON与QOM全等；2假如点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，如此PON与QOM又有怎样的关系？试就点O在图所示的位置，画出图形，证明你的猜测；3假如点O为直线BD上任意一点不与点B、D重合，设OD：OB=k，PN=x，MQ=y，如此y与x之间的函数关系式为y=考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题：综合题分析
2、：1根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明DOPBOQ，PONQOM，然后利用全等三角形的性质得到PO=QO，MO=NO，然后再证明PONQOM就可以解决问题；2点O为直线BD上任意一点，如此MOQNOP根据APBQ，BM可以得到比例线段，而NOP=MOQ，可以证明MOQNOP了；3根据2和可以得到，根据这个等式可以求出y与x之间的函数关系式解答：1证明：在平行四边形ABCD中，ADBC，PDO=QBODOP=BOQ，DO=BO，DOPBOQPO=QO2分同理MO=NOPON=QOM，PONQOM4分2解：画图5分MOQNOP6分APBQ，BM，OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OM
3、OP：OQ=ON：OM7分NOP=MOQMOQNOP8分3解：根据2和可以得到，y=10分点评：此题综合性比拟强，把全等三角形，相似三角形放在平行四边形的背景下，综合利用这些知识来解题152010某某：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点1如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ；2如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S假如AD=4，DCB=60，BS=10，求AS和OR的长考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质专题：综合题分析：1求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即
4、证ODQOBP2首先求AS的长，要通过构建直角三角形求解；过A作BC的垂线，设垂足为T，在RtABT中，易证得ABT=DCB=60，又了斜边AB的长，通过解直角三角形可求出AT、BT的长；进而可在RtATS中，由勾股定理求出斜边AS的值；由于四边形ABCD是菱形，如此ADBC，易证得ADOSBO，了AD、BS的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式，即可求出OA、OS的长；同理，可通过相似三角形ADR和SCR求得AR、RS的值；由OR=OSRS即可求出OR的长解答：1证明：ABCD为菱形，ADBCOBP=ODQO是BD的中点，OB=OD在BOP和DOQ中，OBP=OD
5、Q，OB=OD，BOP=DOQBOPDOQASAOP=OQ2解：如图，过A作ATBC，与CB的延长线交于TABCD是菱形，DCB=60AB=AD=4，ABT=60AT=ABsin60=TB=ABcos60=2BS=10，TS=TB+BS=12，AS=ADBS，AODSOB，如此，AS=，OS=AS=同理可得ARDSRC，如此，OR=OSRS=12分点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形与相似三角形的判定和性质；2中能够正确的构建出直角三角形，求出AS的长是解答此题的关键172010某某如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，ABCD的顶点A的坐标为2，0，点D的坐标为0，2，点B在x轴的正半轴
6、上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G1求DCB的度数；2连接OE，以OE所在直线为对称轴，OEF经轴对称变换后得到OEF，记直线EF与射线DC的交点为H如图2，当点G在点H的左侧时，求证：DEGDHE；假如EHG的面积为3，请直接写出点F的坐标考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质；轴对称的性质专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论分析：1由于平行四边形的对角相等，只需求得DAO的度数即可，在RtOAD中，根据A、D的坐标，可得到OA、OD的长，那么DAO的度数就不难求得了2根据A、D的坐标，易求得E点坐标，即可得到AE、OE的
7、长，由此可判定AOE是等边三角形，那么OEA=AOE=EOF=60，由此可推出OFAE，即DEH=OFE，根据轴对称的性质知OFE=EFA，通过等量代换可得EFA=DGE=DEH，由此可证得所求的三角形相似过E作CD的垂线，设垂足为M，如此EM为EGH中GH边上的高，根据EGH的面积即可求得GH的长，在题已经证得DEGDHE，可得DE2=DGDH，可设出DG的长，然后表示出DH的值，代入上面的等量关系式中，即可求得DG的长，根据轴对称的性质知：DG=AF，由此得到AF的长，进而可求得F点的坐标，需注意的是，在表示DH的长时，要分两种情况考虑：一、点H在G的右侧，二、点H在G的左侧解答：解：1在
8、直角OAD中，tanOAD=OD：OA=，A=60，四边形ABCD是平行四边形，C=A=60；2证明：A2，0，D0，2，且E是AD的中点，E1，AE=DE=2，OE=OA=2，OAE是等边三角形，如此AOE=AEO=60；根据轴对称的性质知：AOE=EOF，故EOF=AEO=60，即OFAE，OFE=DEH；OFE=OFE=DGE，DGE=DEH，又GDE=EDH，DGEDEH过点E作EM直线CD于点M，CDAB，EDM=DAB=60，EM=DEsin60=2=，SEGH=GHME=GH=3，GH=6；DHEDEG，=即DE2=DGDH，当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，4=x
9、x+6，解得：x1=3+，x2=3舍，点F的坐标为1，0；当点H在点G的左侧时，设DG=x，DH=x6，4=xx6，解得：x1=3+，x2=3舍，DEGAEF，AF=DG=3+，OF=AO+AF=3+2=+5，点F的坐标为5，0，综上可知，点F的坐标有两个，分别是F11，0，F25，0点评：此题涉与的知识点较多，主要有：平行四边形的性质、轴对称的性质、全等三角形以与相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大题型二：梯形中的相似问题212000某某区：在梯形ABCD中，ADBC，点E在AB上，点F在DC上，且AD=a，BC=b1如果点E、F分别为AB、DC的中点，如图求证：EFBC，且EF=；2
10、如果，如图，判断EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代数式表示EF请证明你的结论考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例分析：1连接AF并延长，交BC的延长线于M，利用ASA可证ADFMCF，那么，AF=MF，AD=CM，于是EF就转化为ABM的中位线，那么EF=BM，而CM=AD，所以EF=BM=BC+CM=BC+AD；2证法和1一样，只是换成求线段的长先利用平行线分线段成比例定理的推论，可得AF：FM=AD：CM=DF：FC=m：n，从而在ABM中，AE：BE=AF：FM，再利用比例线段的性质，就有AE：AB=AF：AM，再加上一个公共角，可证AEFABM，如此
11、AEF=ABM，那么EFBM，从而有EF：BM=AE：AB=m：m+n，而AD：CM=m：n，可求CM，那么BM可求，把BM代入上式即可求EF解答：1证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点M，1分ADBM，D=1，点F为DC的中点，DF=FC，又2=3，ADFMCF，AF=FM，AD=CM，3分点E为AB的中点，EF是ABM的中位线，EFBC，EF=BM，BM=BC+CM=BC+AD，EF=AD+BC，即EF=a+b；5分2答：EFBC，EF=，证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点M，ADBM，又，在ABM中，有=EFBC，9分=，EF=BM=，10分而，CM=，11分EF=b+，EF=
12、点评：此题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、比例线段的性质等知识102007某某：等腰RtABC中，A=90，1如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰RtCDE，连接AD，如此有ADBC；2假如将等腰RtABC改为正ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，CDE为正三角形，连接AD，上述结论还成立吗？答成立；3假如ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，DECABC，连接AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答：ADBC请你在上述3个结论中，任选一个结论进展证明考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形专题：几何综合题分析：欲证ADBC，可以根据等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性质，证明ACDBCE，再证明AD与BC的内错角相等，得出结论解答：解：1ABC和DEC是等腰直角三角形，ABCDEC，ACB=DCE=45=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBC=45DAC=ACBADBC2ABC和DEC是正三角形，ABCDEC，ACB=DCE=60=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBC=60DAC=ACBADBC成立3ABC和DEC是等腰直角三角形，ABCDEC，ACB=DCE=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBCDAC=ACBADBC点评：观察测量
