高中数学奥赛辅导系列集合与简易逻辑

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1、集合与简易逻辑一、基础知识：1. 元素与集合：aA，bA2. 集合与集合：AB，AB，AB，AB，AB，A，3. 差集：ABx|xA且xB(部分资料上用“AB”表示)4. 集合运算律：（略）5. n个元素的集合所有子集个数为：2n6. 覆盖与划分：如果集合SS1S2Sn，则S1、S2、Sn叫做集合S的一个覆盖；如果同时又有SiSj(ij)，则S1、S2、Sn叫做集合S的一个划分7. 容斥原理：card(AB)card(A)card(B)card(AB) card(ABC)card(A)card(B)card(C) card(AB)card(BC)card(CA) card(ABC)该结论可以推

2、广到n个集合8. 命题与推理：简单命题与复合命题，逻辑关连词“或”、“且”、“非”的应用，逆命题、否命题、逆否命题及其真假性的判断9. 充要条件：如果AB，则称A是B的充分条件，同时称B是A的必要条件10. 数学悖论：对于命题p，如果p正确，则可以推导出“非p”，而如果p错误，又可以推导出p正确。也称“二难问题”。二、例题：1. 已知集合A1，3，x，B1，x2，AB1，3，x，则这样的x的不同的值有( )个A1B2C3D42. 已知集合M中的元素都是自然数，且如果xM，则8xM，则满足这样条件的集合M的个数为( )(注：自然数包括0)A64B32C16D83. 求集合xZ|2x32的真子集个

3、数4. 在1120的120个自然数中，素数与合数各有多少个？5. 已知Ma，ad，a2d，Na，aq，aq2，且MN，求q的值6. 在数理化三科竞赛辅导中，高一10、11、12班参加数学辅导的有168人，参加物理辅导的有187人，参加化学辅导的有155人，数学、物理两科都参加的有139人，数学、化学两科都参加的有127人，物理、化学两科都参加的有135人，数理化三科都参加的有102人，问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导？解：根据容斥原理，至少参加一科辅导的学生人数为：1681871551391271351022117. 求证：任意n1个整数中，总有两个整数的差能被n整除。提示：利用余数

4、构造n个集合，根据抽屉原理，至少有两个整数放在一个集合里，它们同余，它们的差一定能被n整除8. 证明：若购买超过17千克（整数千克）的粮食，只用3千克和10千克的粮票支付，而无需要找补。解：本题其实就是证明大于17的整数都能表示为3m10n的形式，其中m，n都是非负整数注意到：大于17的整数可以写成3k，3k1，3k2(k6)的形式，而3k13(k3)10，3k23(k6)102，因此它们都能够表示成3m10n的形式，其中m，n都是非负整数9. 设A是数集，满足若aA，则A，且1A若2A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素A能否为单元素集合？分别在实数集和复数集中进行讨论若aA，证明：1A

5、解：2A 1A A 2A A中至少还有两个元素：1和如果A为单元素集合，则a即a2a10该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集但该方程有两个虚数解：ai故在复数范围内，A可以是单元素集，Ai或AiaA A A，即1A10. 设S为集合1，2，3，50的一个子集，且S中任意两个元素之和不能被7整除，则S中元素最多有多少个？将这50个数按照7的余数划分成7个集合A0=7，14，21，28，35，42，49A1=1，8，15，22，29，36，43，50A2=2，9，16，23，30，37，44A3=3，10，17，24，31，38，45A4=4，11，18，25，32，39，46A5=

6、5，12，19，26，33，40，47A6=6，13，20，27，34，41，48除去A0中的7个元素外，其余集合中的元素都不能被7整除，而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被7整除，但是，A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取一个元素的话，这两个元素之和能够被7整除，因此，所求集合中的元素可以这样构成：A0中取一个，然后在A1和A6、A2和A5、A3和A4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素，为了“最多”，必须取A1中的8个，然后可以取A2、A3中各7个元素，因此S中元素最多有1+8+7+7=23个11. 已知集合A中有10个元素，且每个元素都是两位整数，证明：一定

7、存在这样两个A的子集，它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等解：这10个元素的总和S100101000而A的子集总共有21010241000S根据抽屉原理，至少存在两个子集，他们的元素之和相等，记为M、N，如果M、N没有公共元素，则M、N就是满足题意的子集，命题得证如果M、N中有公共元素，记MNQ，考查集合MMQ，NNQ则M、N中没有公共元素，且M、N的元素之和相等，同时它们都是A的子集即M、N为所求集合命题成立！12. 老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子，他让三个学生按前后顺序站成一列，然后让他们闭上眼睛，给他们每人戴上一顶帽子，并将剩下的两顶帽子藏了起来，三人睁开眼睛后，后面的人可

8、以看见前面人的帽子颜色这时老师问：“你们谁能判断出自己戴的帽子的颜色？”结果三人都说：“不能！”老师又说：“你们再考虑考虑，能判断出来吗？”三人思考了一会儿，还是都说：“不能！”老师再一次问：“真的不能吗？”，这时，站在最前面的同学突然说：“老师，我知道我戴的帽子颜色了！”请问，这位同学戴的帽子是什么颜色的？他又是怎样判断出自己帽子的颜色的？答：白色不妨从前到后记三人为甲乙丙，第一次问，甲乙自然无法判断，而丙也无法判断，说明甲乙二人戴的帽子颜色为“两白”或“一红一白”第二次问，丙的情形没有变化，也无法判断，这时，甲和乙可以动脑筋了，既然甲乙的帽子颜色为“两白”或“一红一白”，如果乙看到甲的帽子

9、颜色为红色，则乙的帽子颜色肯定为白色，这样乙就应该在老师第二次提问时回答出答案，这说明乙看到的甲的帽子颜色为白色因此乙无法判断自己帽子的颜色这样，当老师第三次提问时，甲就可以利用前两次乙和丙“不知道”的回答给自己的提示，从而准确地判断出自己所戴帽子的颜色为白色13. 孙膑是中国古代著名的军事学家，他的兵法众人皆知一天，大王决定要考一考孙膑的才能，便对孙膑说：“请你用计让我走下我的宝座”一旁的庞涓争着说：“我把大王拖下来！”大王对他的答案立即给予否定：“这不是用计！”庞涓又说：“那我用火烧！”大王也不以为然，这时孙膑说：“大王，要你走下宝座确实不易，但如果你来到宝座下面的话，我可以用计让你走回去

10、！”大王一心要试一试孙膑的智力，毫不犹豫地走了下来等待孙膑用计，这时孙膑说：“大王，我已经成功了！”大伙儿一时都糊涂了，这是怎么回事呢？其实这是孙膑给大王设下了一个“二难”的格局，如果大王不下宝座，则孙膑的的前提“如果你来到宝座下面”不成立，这样我的智力无法表现出来了，而如果大王走下宝座，则“我已经让你走下了宝座”。因此，无论大王怎么样动作，孙膑都能够保证自己至少不输！14. 这里是五间并排的商店。它们的店员分别是高太太(她不是美容师)、林先生(他不是水果商)、刘先生(他不是药商)、李先生(他不是杂货商)及卢小姐(她不是开花店的)。卢小姐的店铺位于这排商店的最后一间，刘先生的隔邻是杂货店，而他

11、跟水果商很友善，希望有一天她能把店铺转让给他。如果上面这一段文字已经能确定出每间店铺的主人，你能得出详细结果吗？解：注意：题目叙述中已经透露出水果商是女性，并注意到“这一段文字已经能确定出每间店铺的主人”，画出推理表即可得出正确结论美容师水果商药商杂货商开花店高太太O林先生O刘先生O李先生O卢小姐O练习：1. 集合Aa2，a1，3，Ba3，2a1，a21，若AB3，则a的值是( )A0B1C2D12. 设AxZ|x2px150，BxZ|x25xq0，若AB2，3，5，则集合A，B分别是( )A3，5，2，3B2，3，3，5C2，5，3，5D3，5，2，53. 50名学生参加跳远和铅球两项测试，

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