三垂线定理及其逆定理

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1、真诚为您提供优质参考资料,若有不当之处,请指正。三垂线定理及其逆定理知识点:1.三垂线定理;2.三垂线定理的逆定理;3.综合应用;教学过程:1三垂线定理:平面内一条直线,如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直;已知:分别是平面的垂线和斜线,是在平面的射影,。求证:;证明:说明:(1)线射垂直(平面问题)线斜垂直(空间问题);(2)证明线线垂直的方法:定义法;线线垂直判定定理;三垂线定理;(3)三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。(4)直线与可以相交,也可以异面。(5)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判

2、定定理。例1.已知是平面外一点,。求证:。例2.已知正方形所在平面,为对角线的中点。求证:。例4.在正方体中,求证:;2写出三垂线定理的逆命题,并证明它的正确性;命题: 已知: 求证:证明:说明:例2在空间四边形ABCD中,设。求证:(1);(2)点A在底面BCD上的射影是的垂心;例3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知:求证:说明:可以作为定理来用。例5已知:中,PA是面的斜线,。(1)求PA与面ABC所成的角的大小;(2)当PA的长度等于多少的时候,点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上;作业:1.正方体,分别是上的点,.求证

3、: 。2.已知:平面,是的中点。求证:;3.填空并证明:(1)在四面体ABCD中,对棱互相垂直,则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。(2)在四面体ABCD中,AB、互相垂直,则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心(3)在四面体ABCD中,AB=AC=AD,则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。(4)在四面体ABCD中,顶点A到BC、CD、DB的距离相等,则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。4.正方体中棱长,点P在AC上,Q在BC1上,APBQa,(1)求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值;(2)求证:PQAD5.在正方体中,设E是棱上的点,且,F是棱AB上的点,。求AF:FB。6.点是所在平面外一点,且PA平面ABC。若O和Q分别是ABC和PBC的垂心,试证:OQ平面PBC。7.已知在平面内,。求证:; /

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