三垂线定理及其逆定理

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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。三垂线定理及其逆定理知识点：1.三垂线定理；2.三垂线定理的逆定理；3.综合应用；教学过程：1三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；已知：分别是平面的垂线和斜线，是在平面的射影,。求证：；证明：说明：（1）线射垂直（平面问题）线斜垂直（空间问题）；（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。（4）直线与可以相交，也可以异面。（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判

2、定定理。例1.已知是平面外一点，。求证：。例2.已知正方形所在平面，为对角线的中点。求证：。例4.在正方体中，求证：；2写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；命题： 已知： 求证：证明：说明：例2在空间四边形ABCD中，设。求证：（1）；（2）点A在底面BCD上的射影是的垂心；例3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知：求证：说明：可以作为定理来用。例5已知：中，PA是面的斜线，。(1)求PA与面ABC所成的角的大小;(2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上；作业：1.正方体,分别是上的点,.求证

3、: 。2.已知：平面，是的中点。求证：；3.填空并证明：（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。（2）在四面体ABCD中，AB、互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心（3）在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。（4）在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。4.正方体中棱长，点P在AC上，Q在BC1上，APBQa，（1）求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；（2）求证：PQAD5.在正方体中，设E是棱上的点，且，F是棱AB上的点，。求AF：FB。6.点是所在平面外一点，且PA平面ABC。若O和Q分别是ABC和PBC的垂心，试证：OQ平面PBC。7.已知在平面内，。求证：； /