晶体结构（读书笔记I）一、晶体、准晶体和非晶体材料结构特征与差别（1）晶体结构：整个晶体是一个完整的单一结构，即结晶体内部的微粒在三维 空间呈高度有规律地、周期性地排列，或者说晶体的整体在三维方向上由同一空间 格子构成，整个晶体中质点在空间的排列为长程有序，且具有各向异性2）准晶体结构：既不同于晶体，也不同于非晶态，原子分布不具有平移对称 性，但仍有一定的规则，且呈长程的取向性有序分布，可认为是一种准周期性排列 一位准晶：原子有二维是周期分布的，一维是准晶周期分布一维准晶模型———— 菲博纳奇（fibonacci）序列其序列以L-L+S S -L（L,S分别代表长短两段线段） 的规律增长，若以 L 为起始项，则会发现学列中 L 可以成双或成单出现，而 S 只能 成单出现，序列的任意项均为前两项之和，相邻的比值逐渐逼近i,当n -a时， i=（l+V5）/2二维准晶，一种典型的准晶结构是三维空间的彭罗斯拼图（Penrose） 二维空间的彭罗斯拼图由内，角为 36 度、144 度和 72 度、108 度的两种菱形组成， 能够无缝隙无交叠地排满二维平面这种拼图没有平移对称性，但是具有长程的有 序结构，并且具有晶体所不允许的五次旋转对称性。
三维准晶，原子在三维上的都 是准周期分布包括二十面体准晶，立方准晶准晶体质点在空间排列为长程取向， 没有长程平移周期性3）非晶体结构：非晶体是内部质点在三维空间不成周期性重复排列的固体， 具有近程有序，但不具有长程有序外形为无规则形状的固体非晶体具有各向同 性，非晶体无固定的熔点，它的熔化过程中温度随加热不断升高二、原胞、基矢的概念，晶面晶向的表示，对称性和点阵基本类型（1）原胞与基矢：能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布之化学-结构 特征的平行六面体单元，最小的周期重复单元称作点阵的原胞以原胞的边长为点 阵基矢构成平移矢量为基矢任意格矢为 R=m 1a 1 +m 2a 2 +m3a3, 定义表明，晶体在不 同方向上，晶体的物理性质不同，也表明点阵是无限大的① 原胞性质：它们是不唯一的，空间点阵最小的重复单元，每个空间点阵原胞中 只含有一个格点，对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法（ Wigner-Seitz 原 胞），但原胞的体积均相等，原胞体积（V=al*a2a3）,所有原胞（同维度）体积相 等，晶格结构=空间点阵原胞+基元原胞具有平移周期性，沿格矢量平移后性质相 同② 晶胞性质：晶胞可以是原胞，也可以是原胞的整数倍。
晶胞包含布拉菲格子 数大于一对于分类，共有 7 大晶系， 14 中布拉菲格子， 32 个点群， 230 种空间群 面心立方维格拉塞茨原胞是正十二面体，体心立方维格拉塞茨原胞是 14 面体，晶胞 不仅反映周期性，同时反映晶体的对称性特征 NaCl 面心立方沿 1/2 棱边相互嵌套， CsCl简立方沿体对角线1/2相互嵌套，金刚石面心立方沿体对角线的1/4相互嵌套 ③布拉菲格子：晶体点阵是一个无限延展的点阵，点阵内所有阵点完全等价晶体 点阵是等价点的集合 晶体点阵代表了晶体最本征的特性，即：晶体具有平移对称 性晶体点阵是晶体原子周期排列方式的高度概括和近似描述，一种点阵可能代表 了许多种晶体的原子周期排列方式 可以证明：二维空间存在着 5 种点阵类型； 三维空间存在着 14 种点阵类型为描述晶体内部结构的长程有序，引入空间点阵 结点的总体称为布拉菲点阵，或布拉菲格子布拉菲格子中，每点周围的情况都一 样如果晶体由完全相同的一种原子构成，且基元中仅包含一个原子，则相应的网 格就是布拉菲格子，与结点所构成的相同2）晶面晶向：点阵的格点可以分列在一系列平行的直线系上，这些直线系称 作晶列同一点阵可以形成不同的晶列，每一个晶列定义一个方向，称作晶向。
晶 体点阵的所有格点也可以看成是排列在一系列相互平行、等间距的平面系上，这些 平面叫晶面，很明显，对每个晶面系来说，格点在各晶面中的分布是相同的；一个 晶面系必须包含所有格点，晶格中可以有很多个（严格说是无穷个）晶面系以后 讨论晶体的性质时常要指出具体晶面，因此需要确定晶面系的名称——晶面指数①晶面指数求法：在一组相互平行的晶面中任选一个晶面，量出它在三个坐标 轴上的截距并用点阵周期 a,b,c 为单位来量度； 写出三个截距的倒数，和一个坐标 轴平行、截距为a时，倒数记做零；将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，把它 们化为三个简单整数，并用圆括号括起，即为该组平面系的晶面指数这种方法定 义出的晶面指数也叫“密勒（Miller ）指数”②晶面系数：原子聚集密度大、间距大的晶面（晶面指数简单的晶面，面间距大）, 晶面间结合力较弱，因而较易分裂开，这种晶面称为解理面同时晶面上原子聚集 密度大时，对X-Ray散射强烈，因而Miller指数简单的晶面族，在X-Ray衍射图谱 中通常表现为较强峰和最强峰晶面族指各轴间相互平行的晶面，或者晶面间距和 晶面上原子分布完全相同的晶面 {1．相互平行；2．空间方位不同，但空间位向性 质相同（即晶面间距和原子分布相同） }。
密勒指数不仅可以用来表示晶面族，而且 可以得出下面的信息：1.用于计算晶面族的面间距密勒指数小的晶面族的面间距较大，而往往成为晶体 的解理面2•用于计算不同晶面族之间的夹角一般而言，密勒指数分别为（hkl）和（hkl）1 1 1 2 2 2的晶面族的 2 个平面之间的夹角的余弦为：在 X 射线衍射和结晶学中，密勒指数不一定为互质整数，例如，面心立方中一些平 行于（100）的晶面而截 a 轴于 1/2 处的面，其指数为（200），其原因是晶胞并非 是晶体中的最小重复单元③ 可以证明，如此确定的晶面指数二晶面法线方向和三个坐标轴夹角的方向余 弦之比3）对称性：一个物体（或图形）具有对称性，是指该物体（或图形）是由两个 或两个以上的部分组成，经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换位置之后整 个物体（或图形）保持不变的性质对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称 作对称操作即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作点对称操作： 在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作有限大小的物体，只能有点对称操 作对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转 轴；面，反映面等。
如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个变 换为物体的一个对称操作一个物体可能的对称操作越多，它的对称性就越高立 方体具有较高的对称性，它有 48个对称操作人们早就指出，晶体的外形(宏观) 对称性是其原子做周期性排列的结果原子排列的周期性用晶体点阵表示，晶体本 身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操作后也应该保持不变，这就限制了晶体所 可能有的点对称操作数目，可以证明：不论任何晶体，它的宏观对称元素最多只可 能有 10 种(一说 8 种)对称元素三、倒易点阵，布里渊区概念，倒格子矢量以及布里渊区求法(1) 倒易点阵，布里渊区：为了便于处理晶体结构同其 X-Ray 效应的关系，最初 由 P.P. 厄瓦耳引进的概念倒易点阵是由被称为倒易点或倒易点的点所构成的一种 点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系倒易点 阵中的一倒易点对应着空间点阵中一族晶面间距相等的点格平面设原空间点阵的 一组基矢为Al、A2、A3，若用下式定义另一组基矢则由新的一组基矢Bl、B2、B3 所表示的点阵与原空间点阵有互为倒易的关系，称它是原空间点阵的倒易点阵满 足关系：K„„„i=j 时Ai ・ Bj ={0 K 时，i,jw {1,2,3}, K 为常数。
倒易点阵基矢表达式：B1=(A2XA3)/[A1 ・(A2XA3)] = (A2XA3)/VB2=(A3XA1)/[A2 ・(A3XA1)] = (A3XA1)/VB3=(A1XA2)/[A3 ・(Al X A2)] = (A1 X A2)/V式中：V为阵胞体积两个互为倒易的点阵之间存在以下关系：① 由基矢决定的平行六面体的体积互为倒数② 原点阵中指数为(h,k,l)的一组平面垂直于其倒易点阵中有着相同指数(h,k,l)的一条直线，而且阵面族的面间距dHKL同直线长度rHKL成反比例关系： dHKL二K/rHKL这样，就可以用一个倒阵点来代表正点阵中的阵面族而倒阵点就可 以和衍射图样上的衍射斑点联系起来倒易点阵的引入除了解释晶体的 X 射线衍射图样外，倒易点阵的概念在固体理 论中也非常重要，作出由原点出发的诸倒易点阵矢量的垂直中分平面，则为这些平 面所完全封闭的最小体积就是第一布里渊区固体理论中习用的倒易点阵的尺寸为 这里定义的2n倍—> —> ―>(2)倒易点阵，布里渊区求法：假设 是一个晶体点阵的基矢，该点阵的格矢为：原胞体积是0 二 ・(a2 xa3)，构成一个新点阵位移矢量Rn = + 坷 02 + 卫1Ghki = hb\ + kbi +/Z)3。
倒易点阵，上面变换公式中出现的2n因子，对于晶体学家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来 了极大的方便倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X射线衍射问题时首先 引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念布里渊区 的界面是某一倒格矢的垂直平分面，界面方程式可以写成：k-G = ^G2即K在G上的投影是G的1/2是倒格子空间中的矢量满足上式的 K 的端点将落在 的垂直平分面上，所有 的 末端的格点构成布里渊区的界面，只要给定 G ，就可以求出对应的布里渊区界面四、X射线衍射条件、基元几何因子以及原子形状因子(1) X-Ray 条件：晶体中处在不同位置上的原子向外散射的电磁波(不同相位) 相互干涉的结果，是晶体原子的有序排列，使某些方向上散射波始终互相叠加、某 些方向上的散射波始终相互抵消，而产生衍射线因此每种晶体的衍射花样都反映 出晶体内部原子分布的规律Bragg把晶体对X光的衍射当作由原子平面的反射， 在反射方向上，一个平面内所有原子的散射波位相相同、相互叠加，当不同原子平 面间的辐 射波符合 Bragg 关系时， 散射波在反射方向得到加强，形成衍射。
2dhkl sin 0 -nX（2）基元的几何结构因子以及原子形状因子：几何结构因子的定义是：原胞内所 有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波 的振幅之比对于某一波长，原子内所有电子的散射波的振幅之比，称为原子散射 因子。