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1、 第三讲两个平面的位置关系一、 知识点1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.3.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.4.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.5.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.二、典型例题例1.下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C
2、.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行例2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面、，对于下面四种情况：b，b，.其中可能的情况有A.1种 B.2种 C.3种 D.4种例3.、是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定的是A.、都平行于直线a、bB.内有三个不共线点到的距离相等C.a、b是内两条直线，且a，bD.a、b是两条异面直线且a，b，a，b例4.a、b、为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上） 例5 设平面平面，AB、CD是两条异面直线，M、N
3、分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D，求证：MN平面.例6如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1CC1.求证：平面A1BC1平面ACD1.例7如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）APMN；（2）平面MNP平面A1BD.例8下列命题中，错误的是A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B.平面平面，a，过内的一点B有唯一的一条直线b，使baC.，、的交线为a、b、c、d，则abcd D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的
4、充要条件例9在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN平面PAD；（2）当MN平面PCD时，求二面角PCDB的大小.例10.在三棱锥ABCD中，若ADBC，BDAD，BCD是锐角三角形，那么必有A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BCDD.平面ABC平面BCD例11.直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是A.a B. a C. a D. a例12设两个平面、，直线l，下列三个条件：l；l；.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命
5、题中正确的个数为A.3B.2C.1D.0例13在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1BDA的正切值为_.例14夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45和30，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_.例15如下图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面ABC平面BSC.例16 如下图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.（1）求证：ABBC；（2）若设二面角SBCA为45，SA=BC，求二面角ASCB的大小.例17
6、已知正三棱柱ABCA1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D平面AA1D；（3）若ABAA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.三、 练习题1.在下列条件中，可判断平面与平行的是A.、都垂直于平面B.内存在不共线的三点到的距离相等C.l、m是内两条直线，且l，mD.l、m是两条异面直线，且l，m，l，m2.设平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=4，则CS=_.3.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌
7、进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGH平行；当容器倾斜如图乙时，EFBF是定值.其中正确命题的序号是_.4.如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面，AB，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.（1）求证：MN；（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长.5.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a.（1）求证：平面AD1B1平面C1DB；（2）求证：A1C平面AD1B1；（3）求平面AB1D1与平
8、面BC1D之间的距离.6P为ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是ABC垂心的充分必要条件是A.PA=PB=PCB.PABC，PBACC.点P到ABC三边所在直线距离相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与ABC所在的平面所成的角相等7m、n表示直线，、表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为=m，n，nm，则 ，=m，=n，则mn，=m，则m m，n，mn，则A. B. C. D.8设a、b是异面直线，、是两个平面，且a，b，a，b，则当_（填上一种条件即可）时，有.9.三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP的长为_. 10.在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF平面AB1C.11如下图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，EFBD=G.（1）：平面B1EF平面BDD1B；（2）求点D1到平面B1EF的距离d；（3）求三棱锥B1EFD1的体积V.12如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a.求：（1）AB与B1C所成的角；（2）AB与B1C间的距离；（3）AB与B1D间的距离.
