多元函数微分学习题解

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1、第8章 多元函数微分学8.1 多元函数的基本概念内容概要区域定义邻域空间中点的邻域为 平面上点的邻域为 点集开集所有点都是内点的点集闭集开集连同边界构成的点集连通集任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集区域连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域多元函数定义D为平面上非空点集，如果对D中任一点，按某种法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称为D上的二元函数，记，D为定义域。几何意义：为空间曲面，D为曲面在面上投影。可定义三元及以上函数。二重极限当时，恒有，则称。注：其中为任意方式。从而若以不同方式趋于时，无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。多元函数连续若，则函数在连续。初等函数在

2、其定义区域内连续。闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。课后习题全解习题8-11.设 ，求。解：2. 已知函数，试求。解： 3.设，且当时，求。解：将代入原式得： ，故 4.求下列函数的定义域： （1）解：要使表达式有意义，必须 所求定义域为 （2）解：要使表达式有意义，必须， （3）解：要使表达式有意义，必须 （4）解：要使表达式有意义，必须 （5）解：要使表达式有意义，必须 5.求下列极限：（1） 知识点：二重极限。思路：为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。 解： （2）知识点：二重极限。思路： 应用有理化方法去根号。解： （3） 解： 原式， ， （4）解：方法一：

3、（应用二重极限定义，语言） 当时 恒有 方法二： （夹逼定理） ，又 方法三： （极坐标代换） 令 ，则当 时， （5）知识点：二重极限。思路：先作变量替换，然后对未定型应用洛必达法则及等价无穷小量替换。 解： 令，则 时，原式。（6） 解： 6.证明下列极限不存在知识点：二重极限。思路：若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。（1） 证：取 ，则 ，易见极限会随值的变化而变化，故原式极限不存在。（2）证：方法一：现考虑 ，若沿轴趋于，则 上式，从而 若沿曲线趋于，则，从而 故原式极限不存在。方法二： 若取，则 若取，则 故原式极限不存在。（3） 解： 若沿轴趋于，则 上式 若沿曲线

4、趋于，则上式故原式极限不存在。注：若沿曲线趋于，则从而 。7.研究下列函数的连续性（1） 解：当时函数无定义，故函数的间断点集为（2）解： 函数间断点为 ， 由 又 故由夹逼定理 ，故为可去间断点。8.设，讨论在处是否连续？知识点：二元函数连续思路：若，则函数在连续。讨论处二重极限的存在性，若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。解：若沿轴趋于，则 若沿轴趋于，则 故不存在，从而函数在处是不连续。8.2 偏导数内容概要偏导数偏导数定义性质也记为同理可定义几何意义：的偏导数表示空间曲线在点处的切线关于轴的斜率偏导函数的求法：（1）多元函数对某自变量求偏导时，只需将其余自变量看为常数，按

5、一元函数求导法则计算导数。（2）多元分段函数在分段点处偏导数要用偏导数定义来求。高阶偏导数若函数的偏导数在区域D内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。如果的二阶混合偏导数在区域D内连续，则在D内这两个偏导数相等。课后习题全解习题8-21. 求下列函数的偏导数：（1）；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。解： ； （2） ；解： ， 故（3） ；解： ；注：该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。（4） ； 解：； （5） ；解： （6） ；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变

6、量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。在本题中对自变量x求偏导时，函数为x的幂函数；对自变量y求偏导时，函数为y的幂指函数。 解： 方法一 方法二：（求时也可利用下边第5节的隐函数求导法则）在方程两边同时取自然对数得 方程两边同时对自变量求偏导数，注意为的函数 （7） ；解： ； （8） ；知识点：多元函数偏导数思路：函数对自变量x（y或z）求导时将另两自变量y，z（x，z或x，y）看为常量，按一元函数求导法则求导。 解： ； ； 2. 设 ，求 。 解： 法一： ，； 法二： ， 3.设 ，求知识点：多元分段函数偏导数。思路：分段函数分段点处偏导数用定义求；非

7、分段点处应用法则求导。 解：当时， 不存在。 当 时， 4.曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角是多少？知识点：多元函数偏导数的几何意义。思路：的偏导数表示空间曲线在点处的切线关于轴的斜率，。解： ， ，5. 求下列函数的和：（1）； 解： ；（2） ； 解： ； ； （3）。解： ； 6. 设，求及。解：，又 ， 所以 ，7. 设，其中可导，证明。证： ， 左边； 右边， 所以 左边=右边，题目得证。注： 本题中对抽象函数应用了一元复合函数求导法则。8. 设，求及。解： ，； 8.3 全微分及其应用内容概要全微分及其应用定义 如果函数在点的全增量可表示为，其中与无关，则称函数在点可微，全微分。

8、性质（1）若函数在可微，则在连续（2）若函数在可微，则；从而若，则函数在不可微。（3）若函数在可微，则在偏导数存在，且（4）若函数在的某邻域存在偏导数且，在连续，则函数在可微，且全微分应用若函数在的某邻域内偏导数，在连续，且都比较小时，有全增量近似公式 函数值近似公式课后习题全解习题 8-31.求下列函数的全微分： （1）；知识点：全微分。思路：求出函数的偏导数，代入全微分公式 。解： 所以 （2） ；解： 所以 （3）；解： 所以 2. 求函数在时的全微分。解：所以 3. 设，求解： 故 从而 4. 求函数在时的全增量和全微分。解： 将 代入得： 全增量 全微分5. 计算的近似值 知识点：全

9、微分思路：应用全微分近似计算公式 解： 设 ，则要计算的近似值就是该函数在时的函数值的近似值。 取 又 应用公式 所以 6. 计算的近似值知识点：全微分思路：应用全微分近似计算公式 解： 设，则要计算的近似值就是该函数在时的函数值的近似值。取 又 所以 所以 7. 已知边长为与的矩形，如果边增加，而边减少，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？知识点：全微分思路：应用全微分近似计算公式 解：由题意知矩形的对角线为 则有 ，其中 ，所以 即矩形的对角线近似减少2.8cm。8. 用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长，宽，高，厚，求所需材料的近似值与精确值。解：设容器的长宽高分别为，则长方体体积为，

10、从而所需材料的精确值为 由题意可知， 故 精确值 近似值9. 有欧姆定律，电流I，电压V及电阻R有关系。若测得V=110V，测量的最大绝对误差为2V，测得I=20A，测量的最大绝对误差为0.5A。问由此计算所得到的R的最大误差和最大相对误差是多少？解： 其中，分别为测量电压和电流的绝对误差；故 又 ， 故 从而R的最大误差为，最大相对误差是。8.4 复合函数微分法内容概要复合函数微分法类型求导法则复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数及在点处可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数在对应点处可导，且复合函数中间变量为多元函数情形如果函数及在点处可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则

11、复合函数在对应点处可导，且，复合函数中间变量既有一元函数又有多元函数的情形如果函数及在点处可导函数在点可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数在对应点处可导， 且，注：若，则；其中为对中间变量的偏导数，此时应将中变量看做常数；而为对自变量的偏导数，此时将自变量看为常数。与区别同上。课后习题全解习题 8-41. 设，而，求 解： 2. 设，而，求解： 3. 设，而，求 解： 4.设，求解： 令 则函数可看为复合而成的函数，从而 注：本题也可根据幂指函数求导法则计算或用对数求导法。5.设，求解： （指对中间变量的偏导数，此时将中看为常量） 6. 求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）：（1） 解：令，则原函数为复合而成的函数，按多元复合函数求道法则有： （2） 解： 令，则原函数为复合而成的函数，按多元复合函数求导法则有： （3） 知识点：多元复合函数求导法则。思路：函数有三个中间变量，其中变量既是中间变量又是自变量。解： 令，则函数为复合而成，按复合函数求导法则有： （其中 为函数对中间变量的导数） 7.设，其中为可导函数，验证：。知识点：多元复合函数微分法。思路：本题为抽象函数的复合函数，故要用商式求导法则，再按复合函数求导法则求导。 证：令，则 ， 所以有： 。8.设，其中有二阶连续偏导数，求 解： 令 ，则函数可看为复合而成的函数，由求导法则有：