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1、数值分析实验指导游雄编南京农业大学理学院2009年9月前言.1准备实验 熟悉Matlab、算法的稳定性与病态问题2实验一函数插值2实验二曲线拟合错误！未定义书签。实验三 数值积分与数值微分错误！未定义书签。实验四 线方程组的直接解法错误！未定义书签。实验五解线性方程组的迭代法错误！未定义书签。实验六 非线性方程求根错误！未定义书签。实验七 矩阵特征值问题计算错误！未定义书签。实验八 常微分方程初值问题数值解法4附录一：实验报告模板5附录二：部分实验Matlab程序示例61. Lagrange插值法错误！未定义书签。2. 曲线拟合的最小二乘法错误！未定义书签。3. 数值积分的Romberg方法错
2、误！未定义书签。4. 解线方程组的直接法错误！未定义书签。5. 解线性方程组Jacobi迭代法错误！未定义书签。6. 求非线性方程单根的Newton法错误！未定义书签。7. 求矩阵按模最大的特征值的幂法错误！未定义书签。8.解常微分方程初值问题的经典4阶Runge-Kutta方法错误！未定义书签。为配合数值分析理论课教学，我们编制了 9个数值实验（除准备实验外，8个实验在16个学时内完成），构成这本指导数值分 析实验课程的小册子。通过数值实验，学生将数值方法编程实现, 应用于具体问题进行数值计算，并对实验结果进行分析。数值实验有 利于加深对数值分析理论知识的理解，树立理论付诸实践的学风，建 立
3、面向问题选择和设计算法、实现算法、分析评价和改进算法的专业 技能，培养应用数学的意识、数值分析的能力、以可靠的实验结果作 为评判算法的科学态度以及勇于探索的科学精神。为了使数值实验的 效果落到实处，学生在实验结束后，应撰写并提交实验报告（格式要 求见附录），以此作为数值分析课程实验部分成绩评定的主要依 据。准备实验 熟悉Matlab、算法的稳定性与病、实验目标态问题1. 熟悉Matlab中矩阵的生成与运算、绘图、脚本文件与函数文件的创建、for循环与 while循环、常用的内部函数、数据的输入与输出等。2. 体会误差的传播机制，理解稳定性在算法设计与选择中的重要性。3. 初步体会病态问题。实验
4、问题(1)完成下列问题a) 生成Fibunacci数列。b) 生成指定阶的幻方。c) 生成并图示chebyshev多项式。d) 画出f(x， y)=2xy/ (x*x+y*y)的图形。e) 对向量 x= (x” x,，x )计算 P =x,*xo*xz ,*x, *x , k=1,2,n。12nk 1 2k-1 k+1nf) 生成叶状分形。(2) 计算由定积分1 =卩xnex-1dx定义的序列1 ,n = 1,2,9的各项。n 0n(3) 观察代数方程P(x )= (x - 1)G - 2 ) (x - 20)的病态性。三、实验要求1.利用Matlab的基本功能完成问题(1).a) 生成Fib
5、unacci数列前30项，文件名：fib.mb) 图示811阶幻方，文件名：magi.mc) 画出03次chebyshev多项式，文件名：cheby.md) 画出f(x, y) =2xy/ (x*x+y*y)，x, y 定义域均在1，3的图形。用 Matlab 函数“mesh” “meshgrid”绘出上述二元函数的三维图形，再使用函数“surf” “contour”重画上述三维图形，文件名：plotsurf.me) 对向量x=(x,x,x )计算 P =x,*x*x, ,*x, *x , k=1,2,n,文件名：lprod.m1 2nk 1 2k-1 k+1nf) 生成叶状分形，文件名：fe
6、rb.m试改变程序中的某些参数的值，得到不同的形状、不 同颜色的叶片第2页c.+,A +II-料一+：吐2. 设计算法计算定积分序列的I =卩xnex-1 dx, n = 1,2,9的值。n 0(i) 用向前递推法计算定积分1，n = I，2,9，编写实现算法的程序：unstable.m。n(ii) 分析(i)中算法的计算结果。找出计算失败的原因。(iii) 针对(ii)中的分析，设计另一种算法(后退递推法)，编写实现算法的程序:stable.m。(iv) 分析(iii)中算法的计算结果。找出计算成功的原因。3. 扰动问题(3)中代数方程展开式中某些项的系数，体验该求根问题的病态性。(1) 熟
7、悉matlab函数“roots”和“poty”的用法。(2) 对问题(3)中代数方程展开式中x 19项的系数加上小扰动，编写程序illproblem.m观察方程根的变化。(3) 你能找出或构造其他病态问题吗？附录一：实验报告模板与样例数值分析实验报告（模板）学号班级姓名【实验课题】明确实验目标，如（1）（2）（3）（4）【实验目标】加深对相关理论知识的理解； 实现有关数值方法； 验证有关理论所预言的数值现象; 改进某种既有算法，等等。实验目标可以包括对未知现象的探索。【理论概述与算法描述】概述相关的理论知识，方法的理论意义和实用价值。描述对本课题所针对的数学问题的 相关算法。【实验问题】给出要
8、解决的具体计算问题。【实验过程与结果】详细记录实验的过程和步骤，并用适当的方式（表格图形等）给出实验的结果。【结果分析、讨论与结论】如实验结果是否验证了理论；初值对结果的影响；不同方法的比较；该方法的特点和改 进；整个实验过程中（包括程序编写，上机调试、具体计算等）出现的问题或及其处理等广 泛的问题，以此扩大知识面和对实验环节的认识；实验结合是否与实际相符；所用算法是否 有改进的必要和改进的余地；实验结果是否出现了与理论预见象冲突的现象，原因何在，等 等。【附程序】数值分析实验指导数值分析实验报告（样例）学号 2314130班级信科41姓名刘建炜【实验课题】数值稳定性第6页料一+:吐.+,【实
9、验目标】（1）体会数值算法的稳定性与不稳定性，加深对数值算法稳定性的概念及其重要性的理解。（2）初步学会识别不稳定的算法。（3）初步学会如何避免不稳定的算法而选择数值稳定的算法。【理论概述与算法描述】概述相关的理论知识，方法的理论意义和实用价值。描述对本课题所针对的数学问题的 相关算法。【实验问题】给出要解决的具体计算问题。【实验过程与结果】详细记录实验的过程和步骤，并用适当的方式（表格图形等）给出实验的结果。【结果分析、讨论与结论】【结论】不稳定的算法能将初始误差一步步传播和放大，并可能导致严重错误的计算结 果；相反，稳定的算法在逐步计算的过程中能够控制误差的放大，甚至能使误差逐步缩小。 因此，应选用数值稳定的算法。【附程序】
