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1、第三章 作业一1. 将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以YX和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:XY01231003002. 盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到白球的只数,求X,Y的联合分布律。XY01230001020解:(X,Y)的可能取值为(i, j),i=0,1,2,3, j=0,12,i + j2,联合分布律为P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1
2、=P X=3, Y=2 =03. 设随机变量(X,Y)的分布密度f(x,y)=求:(1) 常数A;(2) 随机变量(X,Y)的分布函数;(3) P0X1,0Y2.【解】(1) 由得 A=12(2) 由定义,有 (3) 4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为fY(y)=求:(1) X与Y的联合分布密度;(2) PYX.题6图【解】(1) 因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为而所以 (2) 第三章 作业二1. 袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.(1) 求X与Y的联合概率分
3、布;(2) X与Y是否相互独立?【解】(1) X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2) 因故X与Y不独立2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(1) 试确定常数c;(2) 求边缘概率密度. 【解】(1) 得.(2) 3. 设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为fY(y)=(1)求X和Y的联合概率密度;(2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.【解】(1) 因 故 题14图(2) 方程有实根的条件是故 X2Y,从而方程有实根的概率为: 4. 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求条件概率密
4、度fYX(yx),fXY(xy). 题11图【解】 所以 第三章 作业三1. 设随机变量(X,Y)的分布律为XY0 1 2 3 4 50123(1) 求PX=2Y=2,PY=3X=0;(2) 求V=max(X,Y)的分布律;(3) 求U=min(X,Y)的分布律;(4) 求W=X+Y的分布律.【解】(1) (2) 所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P0(3) 于是U=min(X,Y)0123P(4)类似上述过程,有W=X+Y012345678P02. 设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,pZ=X+Y服从参数为2n,p的二项分布.【证明】方法一:X+Y可能取值为0,1,2,2n. 方法二:设1,2,n;1,2,,n均服从两点分布(参数为p),则X=1+2+n,Y=1+2+n,X+Y=1+2+n+1+2+n,所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布.3. 雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布.(1) 求PY0YX;(2) 设M=maxX,Y,求PM0.题20图【解】因(X,Y)的联合概率密度为(1) (2) 4. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则XiN(160,202),从而