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1、郑州大学2007级微积分上考试试题A郑州大学2007级 微积分（上）理工 课程试题（A）、求下列极限（每小题5分，共20分）分数评卷人题号一一一二k四五六七总分分数合分人：复查人:sin x2Uos-lim1. 求，:，一 Vl+tani -vl+sin xlim、4.求XCO5 x 汕 x【、求下列函数的导数或微分（每小题 5分，共20 分）T 7T = lntan（-+-） ,1. 设一：，求2. 设V：；-由方程所确定，求3. 设-，求”一分数评卷人，其中具有二阶导数，且、求下列积分（每小题5分，共20分）分数评卷人1. 求1 + xarctan xdx2. 求 1+x3Hln(lH-x
2、)3. 求人科Z4. 求儿(T四、求解下列各题（每小题10分，共20分）分数评卷人2 T-j- + |sinx| xhO1+声1.设x=0，讨论在：1处的连续性与可导性左）：严2. 试求幕级数.的收敛区间（包括端点的敛散性），并求它的和函数 S(x).五、应用与证明题（每小题10分，共20分）分数评卷人21. 设抛物线通过原点，且当一:二1时.，如果它与；轴，直1线 一所围成图形的面积为:，试确定，使这个图形绕丄轴旋转所成的 立体体积最小矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2. 证明：当 x0 时，y l+（x + l）ki（1+x）郑州大学2007级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案.求下列极限（每小
3、题5分，共20分）2 1sin x cos-2iilim .cos- = limx. cos- = 0.io tan x xxx=limW=g*-3* 斗=eo.兀+ /-1J- 1 + 2 芒11 m=lim= J.其中,3. h mx-C加）=lim=2加肝=21皿上.“ 宓“捫 4-2?4 血+ tan x- /l + sinx 等价向 Jl + tan x - Jl+sin x*0r nnt： t sin rttanx-sitixx cos j sin x1 tan x- sin 1=-lim =-lim7 wO r? ytO y rm 片油 F cos并(1 +tan x + Jl
4、+ sm 兀)1帕(l-c如等价毗亍? Z T3cos x 4求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分）求：S?=0天402 设函数尸曲)由方程町加为心 确定，求贝) 解：方程两边同时关于求导，得：-T-!(2x+#) =+COSXJ .-(1)又当】时，代入原隐函数方程易得】将 1 代入(1 )叩、；3 .设TJ叭)求解：两边取对数，得：-uL 心;上式两边同时关于丄求导，得：-V = ln(l + sinxl + x.-.cgsx-1 + sin x(1+smx)ln(l +闷(1 + sin x) + xcosx1 + sin x=0(砂二丿滋=(l+smx)：ln(l + 5in
5、x).(l + sin x) + x.cosx1 + sin xdxx 二 J；y(护)Ag*4 设卜冷)其中/仗)具有二阶导数，且m)皿解 贵畔伶驾旦吨dy = yfdx L = -加xdJQ 空dt忖)i铲(t%曲7*)7pj=7F1三.求下列积分（每小题6分，共30分）t(2F + 2)-2=t j 2idi = -:it = 2/-2arctan/= 2丘_2 arctan/x + C*.1 4 Jl1 + f2.(1 + x )-1arctan 曲=1 + H址画谕*占沁an滋arctan xdx = x. arctan 兀一一i+F2-| arct anarctan x)pM!iJ
6、=r1ift(i+r 1 =出(1+打-丄3。(2-才J严an v 2-丄丄必2-x 1 + 兀骚1+力1 1丄一丄如创叮1 + 1、 2-J2-X 1+A“3(2 1+Adx = n2 - In -丿32=x. arctan x- Zdx - fJl + ? J 二兀 arctan x - ti (1+F)-1 arctan U + C,= lki2.WH；(W(1+too =2四求解下列各题（每小题10分，共20分）j- + pin x, x 0,讨论 ；）在二 1出的连续性与可导性.1 +由1.设0fx = 0f解：（一）连续性2xFsin x|2j .i -sinxL】+旷1+M Jr
7、 + |sm i| +訶.2xL+sin一 1 +亦-=0；因为二VU所以r 在匚1处连续.2 sin X（二）可导性2sinx2+ x +占J两為化件= 0+1=1.丨在处可导.因为x-0；【爪，所以,= 2-1 = 1;.试求幕级数的收敛区间（包括端点处的敛散性），并求它的和函数解：（一）记p lim -用今3=lim1暫丨f（-矿（T5B因为所以收敛半径为当时，级数即为二Z-j条件收敛;乞52-当-时，级数即为二7发散，故级数的收敛区间是(1)（二）设ME二念马F八飓（MA-1 处一其中谢7n-ljh1 X I曲、a=z由于1 1H：5 + xR-1 =Vn訴）二呂（0） +佃砂x =；齐严二也（曲）；In 5=lai+-k 5丿-in (x+5)-= xln 1+ I注意：也可以这样求直接利用展式附述（”寻心】，得+i=ln5丿I 5丿M ”+1五应用与证明题 （每小题10分，共20分）1.设抛物线尸用+2处+c通过原点，且当0 !1+Win(1+4证明：令. : )贝J二J匚卩y;=O?ze (0,-ko).1 + x故当卜汛【时，-匚丨在卩八心上单增，故当.时，-:口 : :因此 /在0加) 上单增，故当0时， /W/(o)=o,即当时，/叫
