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1、第五章导数及其运用知识网络第1讲导数的概念及运算知识梳理1. 用定义求函数的导数的步骤 (1 )求函数的改变量 y; (2)求平均变化率-1.( 3)取极限，得导数f (xo) = lim y .&I Ax2. 导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f(x)在某一点(Xo,yo)处的导数是过点(Xo,yo)的切线的物理意义：若物体运动方程是s=s (t),在点P (io, s (to)处导数的意义是t=to处的解析：斜率；瞬时速度3. 几种常见函数的导数c=0 ( c 为常数);(xn) nxn ( n R);II(sinx) =； (cosx) =；(lOga X)二1 loga e ;xx
2、 xx x(e ) = e ; (a )二 a In a.解析：cosx;-sinx;4. 运算法则(v(v = 0).求导数的四则运算法则：IIII(U 土v) =uv ； (uv) =1 1解析：u v +uv ;u v uv2v复合函数的求导法则：fx( (x) = f(u) (x)或 yx nyu ux重难点突破1. 重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2. 难点：切线方程的求法及复合函数求导3. 重难点：借助于计算公式先算平均增长率，再利用函数的性质解决有关的问题.(1) 平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数f (
3、x) = 2x与g (x) = 3x,当X 1,2时，平均增长率的大小.点拨：解题规律技巧妙法总结：计算函数的平均增长率的基本步骤是(1)计算自变量的改变量 =X2X1(2)计算对应函数值的改变量Ay = f(X2)-f(X2)(3)计算平均增长率7 _ f(X2)- f (Xi)XX2 -X-对于f(x) =2X,辿Ax-!牛2 =3,又对于g(x) =3X,邑二牛3 =821. ：x221故当x 1,2时，g(x)的平均增长率大于f(x)的平均增长率.(2) 求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则 ，问题 2.已知 y = (1 cos2x)2,则 y =.点拨：复合函数求导数计算
4、不熟练，其2x与x系数不一样也是一个复合的过程，有的同学忽视了，导致错解为：y、-2sin 2x(1 cos2x).2设 y 二 u , u =1 cos2x ,则 yx 二 yuu 2u(1 cos2x)二 2u (-sin2x) (2x)=2u (sin 2x) 2 二-4sin2x(1 cos2x).讨二-4sin 2x(1 cos2x).(3) 求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3.求y=2x23在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。点拨：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是 y 在 x=1处的函数值;点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方
5、法求切线.切忌直接 将P , Q看作曲线上的点用导数求解。y =2x23,. y4x. y 4即过点P的切线的斜率为4，故切线为：y =4x 1 .设过点Q的切线的切点为T(x0,y0)，则切线的斜率为4x0，又kpQ二 一9X0 -2故热 6 =4x0 , - 2x02 -8x0 6 = 0. x0 二 1,3。X。- 2即切线QT的斜率为4或12,从而过点Q的切线为：y = 4x T, y = 12x _ 15热点考点题型探析考点1:导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值例1设函数f(x)在x0处可导，则f(X。- ：x) - f(X。)等于 ZXA. f(x。)B. - f (Xo)C
6、. f (Xo)【解题思路】由定义直接计算D.- f (xo)解析込(0一仆)f Xo +( -Ax) - f (Xo)一啊(Jx)-f (x0).故选 B【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式考点2求曲线的切线方程例2(高明一中2009届高三上学期第四次月考f(X 亠：、x) - f(X)X二 f (Xo)如图，函数y= f (X)的图象在点P处的切线方程是 y = x 8，则 f (5) f (5)=.【解题思路】区分过曲线P处的切线与过 P点的切线的不同，后者的 P点不一定在曲线上解析：观察图形,设P(5, f(5),过P点的切线方程为y - f (5) =f (5)(x -5)即 y
7、 = f(5)x f (5) -5f (5)它与y =x 8重合，比较系数知：f (5)1, f(5) =3故 f (5) f (5)=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法 求；不是则需设出切点坐标.题型3求计算连续函数 y = f (x)在点x = x0处的瞬时变化率例3一球沿一斜面从停止开始自由滚下，io s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s),求小球在t=5时的加速度.【解题思路】计算连续函数y二f (x)在点x = Xo处的瞬时变化率实际上就是y = f (x)在点x =Xo处的导数.解析：加速度v=|os(5：t)
8、 s(5)At=ltmo22(5：t) -5At=lim (io+At)=io m/s.加速度 v=2t=2 x 5=io m/s.1计算yix2计算lim -【新题导练】f (Xo =x) 一 f (Xo).Xx轴所围成的三角形面积是1 21. 曲线y 和y=x在它们交点处的两条切线与x1 2解析：曲线y 和y = x在它们的交点坐标是(1,1)，两条切线方程分别是 y= x+2和y=2xx31,它们与x轴所围成的三角形的面积是 3.4点拨:与切线有关的问题，应有运用导数的意识，求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可2. 某质点的运动方程是 S=t-(2t-1)2，则在t=1s时的瞬时速度为
9、()A. 1B. 3C. 7D. 13解:B点拨:计算lim S = s(1 心-s(1)即可I AtAt3. 已知曲线 G：y=x2与C2：y= (x 2)2，直线I与C1、C?都相切，求直线I的方程.解：设I与C1相切于点 卩皿12)，与C2相切于Q(X2,快2)2)对于C1： y =2x,则与C1相切于点P的切线方程为2 2y X1 =2x1(x X1),即 y=2x1X X1对于C2： y = 2(x 2),与C2相切于点 Q的切线方程为 y+(X2 2)2=一 2(X2 2)(x x?),即 y= 2(X2 2)x+X22 4t两切线重合，2x1 = 2(X2 2)且一X1 =X2
10、4,解得 X1=0,x2=2 或 X1=2,X2=0直线I方程为y=0或y=4x 4点拨:利用解方程组求交点，利用直线间的位置和待定系数法求斜率考点2导数的运算题型1:求导运算例1求下列函数的导数：x2(1) y 二e cosx(2) y=x tanx(3) y = In(x 1)【解题思路】按运算法则进行I解析(1) ； y=eXcosx, y = ex cosx eX(cosx) = ex cosexsin x2(2)7 y =x2 tan x, y = x2sinx、，小 cos xsin x( sin x) ()=2x-cosxcos X=2x12 cos X(3) y(X 1)=【名
11、师指引】 注意复合函数的求导方法 (分解、求导、回代)；注意问题的变通：如y=xeXx的导数容易求错，但 y %的导数不易求错e题型2:求导运算后求切线方程2 32例2.(广州市2008届二月月考)已知函数f(x)x3-2ax2 3x(xR).3(1) 若a=1，点P为曲线y = f (x)上的一个动点，求以点 P为切点的切线斜率取最小值时 的切线方程；(2) 若函数y = f(x)在(0,=)上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.【解题思路】先按运算法则求导，再按几何意义求切线方程.解析：(1)设切线的斜率为 k，则k二f (x) =2x2 _4x 3 2(x _1)2 T55又f(1)
12、，所以所求切线的方程为：y x -1即3x-3y，2=0.33【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现1 2与曲线y x相切于P(e,e)处的切线方程是(D)e题型3:求导运算后的小应用题 例3.某市在一次降雨过程中A. y=ex-2B . y=ex 2 C . y = 2x e D .y=2x-e，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为1D. 一 mm/min4y = f (t) - .10t,则在时刻t =40min的降雨强度为()A.20mm B. 400mm C. mm/min 2【解题思路】先对t的求导，再代t的数值.解析:f(t)2、10t510二=71
13、0tfW = .400=-选D4【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率，即那一时刻的导数值【新题导练】.4.设函数 f (x) =x(x k)(x 2k)(x -3k)，且 f (0) = 6，则 k -A. 0 B . -1 C . 3 D . -6思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于 k的方程求解. 解：f (x) =(x k)(x 2k)(x _3k) +x(x 2k)(x _3k) +x(x k)(x -3k) + x(x k)(x 2k)故 f (0) = -6k3 又 f(0) =6 ,故 k = -15. 设函数f (x) = (x-a)(x-b)
14、(x-c) , ( a、b、c是两两不等的常数)，贝 y -丿 7*ii”,.f (a) f (b) f (c)解析：f(x) = (x-a)(x-b) (x-b)(x-c) (x-c)(x-a)代入即得 0.16. 质量为10kg的物体按s(t) =3t2 t 4的规律作直线运动，动能Emv2,则物体在运动4s2后的动能是解析:先求瞬时速度后，再代入公式求解提 3125J抢分频道基础巩固训练1 31. (广东省六校 2009届高三第二次联考试卷)f (x)是f (x)x3 2x 1的导函数，则3f (-1)的值是.解析：f(x)=x2 2故 f (-1)=32. (广东省2008届六校第二次联考)V=XCOSX在x=处的导数值是3解析：y=cosx_xsin x 故填丄_3二2 63. 已知直线x+2y 4=0与抛物线y2=4x相交于A、B
