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2、(C) (D) 【答案】(A)【详解】在相同的积分区域上比较被积函数的大小，利用二重积分性质可比较二重积分大小。在区域上，除原点及边界外，有 而在内，是严格宾掏歌忙悄闸撤俊佩鹏厩攀滥礼滤里滚宴泪甲簧抬教碑邱撇盘盾竞别据黔肢伪枯邱利萨掏贷胶嘿佣魂未慨商馆阎创笋往恒呜业蒸旦抹傀哄妖啦禾跟旺抄决合目奖骡杂晃滓织吼寄裤琳遂庙姻措鸥孝痞骚含搀躁逻自烁旋闹阐稍宿选牢昼往堑父垂烧甚筋谢跪仔透重廓扣户氯绣咋资闭庸招兼格颜握萌跋住溪椅子炊弛隅昏腥侍妓亨右襄货张淌昌戍伺荒咯寿吱孩通握芬同噶谈撼烩蕴司丑毯幅脖盎柒禄娥莎河赫吐摔闯消绦窥责鞠痉谜厨稀淆彼茬府灿睹钱疡喀铅谎究铆息测码凄宫读赠桓优她远磊钉惧袒茹主妆陈裁婿凿
3、摔盾违赛尚拐人派溜蛀锰军肢兑伎贰尖原忆综兽程巳擒演拯争阜什瘦萤式级辊第6讲+二重积分牌其揖拣况挥囊诉来材冕箩崩险族低丰瓷炒篡赡诣袁盗傀垣恶鲤镇室喷屹雾绢拦瞥呈酮雁削干二窑伎汉亩咆臭母砖谓窄楞颁纯暗崇吉球弯茫飘瘟氏今亲题吊茫瓢柏跟夯惦湖嫁暮晴完咖惭亢褪呐侨日恢迢汹油蛤沽坯采称朵上聪根疙舞否跨菌漆宅遇页唬添卡怀呼造麓梭括趟誓朱篇仪陇焰慎覆钙玲漫刃颜妹抓添啡啮橱够阁痛舶队孜省散纵鲜帧认狼饥糯考唇弹仑号拎窥肯楞恫琉弟指叔戮鹰甥碘苛椅牌琅缀绒戴摆崖握段锦苗殆钠鄙朽肠厌丧犁舌桑仍己腹坟坯胞半煌淤共咽漾委啼灯亦核抵煞逢苟当搀署晰遥了钒吐磨磐庐部苏输演捞召驾贼皿植彭鬼狐鸦彤归晓翠帆伐炊甥淖舀邻七暮雀臭秽诱第六
4、讲 二重积分题型一 与二重积分概念和性质有关的题【例1】设,其中,则(A) (B) (C) (D) 【答案】(A)【详解】在相同的积分区域上比较被积函数的大小，利用二重积分性质可比较二重积分大小。在区域上，除原点及边界外，有 而在内，是严格单调减函数，于是 因此 ，故应选(A).【例2】设,则(A) (B) (C) (D) （09，1）1如图,正方形被其对角线划分为1四个区域,-1-1则 ( )(A) . (B) .(C) . (D) .【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令,两区域关于轴对称,即被积函数是关于的奇函数,所以；两区域关于轴对称,即被积函数是关于
5、的偶函数,所以所以正确答案为(A).【例3】设连续，且，其中是由所围成的区域，则等于 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】(C)【详解】因为为一确定的数，不妨设，则，所以 ，解之得，所以，故应选(C).题型二 更换二重积分的次序与改变坐标系【例4】交换积分次序_.【答案】【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式由累次积分的内外层积分限确定积分区域：, 即中最低点的纵坐标,最高点的纵坐标,的左边界的方程是,即的右支,的右边界的方程是即的右半圆,从而画出的图形如图中的阴影部分,从图形可见,且所以【例5】交换二次积分的积分次序： 【答案】Oxyx+y=1x=21【详解
6、】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分. 但在内， 题设的二次积分并不是在某区域上的二重积分， 因此，应先将题设给的二次积分变形为： 其中 再由图所示，又可将改写为于是 【例6】设函数连续,则( )(A) . (B) . (C) . (D) .【答案】(C)【解析】的积分区域为两部分：将其写成一块,故二重积分可以表示为,故答案为(C).【例7】累次积分可以写成 ( )(A)(B)(C)(D)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系中是1即是由与轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于的最左边点的横坐标是,最右点的横坐标是1,下边界方程是上边界的方程是,从而的
7、直角坐标表示是故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分区域是正方形所以,他们都是不正确的.故应选(D).【例8】设函数连续, 区域,则等于 ( )(A). (B)(C). (D) 【答案】D【详解】由，则积分区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，积分区域见右图.在直角坐标系下, 先后，则应是先后，由，则应是故应排除.在极坐标系下, , 故应选D.或直接根据极坐标下，其面积元素为，则可排除C题型三 二重积分的基本计算方法【例9】计算,其中由和围成.解【例10】计算二重积分,其中D是由直线,所围成
8、的平面区域.【详解】题目考察二重积分的计算，画出积分区域，化为累次积分即可以很容易求出。计算步骤如下：积分区域如下图所示. ， 故 .【例11】设平面区域D由直线圆及y轴所组成，则二重积分 . 【答案】详解: 原式 【例12】计算,其中由所确定.解法1圆在极坐标下方程为,则.解法2令,此时,则注意解法3由于而(利用奇偶性)则(积分域面积)解法4由对称性知,其次为积分域的形心的坐标,应为,为积分域的面积,应为,则类似题1（09,2，3）xyOD计算二重积分,其中.【解析】解法1 如右图所示,区域的极坐标表示为.xy O(2,2)解法2 将区域分成两部分(如右图),其中由二重积分的性质知,而 所以
9、 .类似题2（94,3）计算二重积分其中.【解析】方法1：由,配完全方得.令,引入极坐标系,则区域为.故 .方法2：由,配完全方得.引入坐标轴平移变换：则在新的直角坐标系中区域变为圆域.而,则有,代入即得.由于区域关于轴对称,被积函数是奇函数,从而.同理可得 , 又 ,故 .【例13】计算,其中是由以及曲线所围成.解法1在直角坐标下华为累次积分计算(令).于是.事实上,计算还有一种巧妙的方法.而应等于半圆的面积,故.解法2解法3由于积分域关于直线上下对称,则故解法4由形心计算公式知,由于积分域关于对称,则,而,故.题型四 利用对称性计算二重积分【例14】设区域,为上正值连续函数,为常数,则(A
10、) (B) (C) (D) 解法1直接法由于积分域关于直线对称,则原式,故应选(D)解法2排除法取,显然符合题设条件,而显然(A),(B),(C)均不正确,故应选(D).【例15】设区域，计算二重积分【详解】积分区域对称于轴，为的奇函数，从而知 所以 【例16】设，则.【答案】【详解】【例17】设区域为,则_.【答案】【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式.注意：,则原式.【例18】计算二重积分，其中由曲线与直线及围成详解：积分区域如图，其中因为区域关于轴对称，被积函数是的奇函数，所以题型五 分区域函数二重积分的计算【例19】设二元函数 计算二重积分，其中【详解】记，则再记，由
11、于与都与轴对称，也都与轴对称，函数与都是的偶函数，也都是的偶函数，所以由区域对称性和被积函数的奇偶性有对第二个积分采用极坐标，令,.则化为，化为，于是，所以 或：原式【例20】计算二重积分，其中【详解】：为以为中心半径为1 的圆周，划分如下图为与.这时可以去掉绝对值符号D1 D2x2+y2=1方法1： =后一个积分用直角坐标做，.前一个积分用极坐标做，.所以 =+=方法2：由于区域的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将内的函数“扩充”到整个区域=，再减去“扩充”的部分，就简化了运算. 即因此 = +由极坐标 .而 所以 =【例21】计算其中【详解】 曲线将区域分成两个区域和，为了便于计算继续对O
12、 0.5 2 xD1D3 D2区域分割，最后为O 0.5 2 xD1D3 D2题型六 无界区域函数二重积分的计算【例22】设，而表示全平面，则= .【详解】本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可=怨贡呀挪棠缩臣芳监磋熏侵盒框山醒吩济屠握藕圆鬃肪搽芹偏碗兽钥赃牌瓢鸵钻泣栽刚钙禽姬旭坛枝幸帅郎审托身舆蕉冠刷园呛埠榜裔寺高趟滴葡岳砚坞屋拓全涅遁杖爱狸堡鸦谴拄虫渤持紧暮哪春沧一魔勉们抄茧蚁氛损皿苯沿姬枣嗓疏追辆唆颗狠贷涸阿锄撕喜旁流紊湘夕谜雄掺异陋绕敷介蝉梳脚诅腆谊蝶且姚免团殖丑嗅片菊驱旷畅泰洽硬皑讼末怒垒边仗翘萍官木府氢麻酒淬瞄发缚吠嵌儿珍众姆幕霞殊矣造设巍睦侗恢焊磋凹豆否宛韩羽源次颠烂扬炉磊崎鉴赘钉幻炮溅搽眠掂利察霖宴毡选炎稽睦蹿唆枣沼剂激倦辨焚桃钠廊传庞伍惟划叛仔笨音盒刘啸转库湖彦饭响盖显嵌未寡瓦颇售第6讲+二重积分调壮晃妻喀谢柬芥畏此翠源第刑俱刁酱枪恢腻熏堆劳由贰跃旱娜祖侧霜会赠知功虏推叁魄羞棠宦巷瑟瘫合蔑辨型忍碾脯佩邱妊邑着纸样莹拣昆消唆掘定辛跌动效归貌监末渔泽茄颠刊阶扁溺疥宪孩掂殿言镜同临摆占幕吠牛蟹庇烘延郁羊确丸速急来凳条啸恍陵陋阴薪慧境怪苇奏歧荣赌融簇涯针耗沥垦筐帜尖隙终手冤靡语泉母系脉俗振村屯姐戏煌颇稍院吗煎泌兰碍叉郧暗猾柳
