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1、间接效用函数与消费中的对偶性（一）间接效用函数 1、直接效用函数：效用是消费量的函数，。 2、间接效用函数：令为效用最大化问题的解，为间接效用函数。为收入。 3、直接效用函数描述的偏好独立于市场，间接效用函数反映最优化程度和市场价格。 4、推导罗伊恒等式 ， 推导：由于，所以，关于得偏导数，按包络定理等于求关于的导数，求导如下： 罗伊恒等式的含义：如果间接效用函数已知，且连续可导，那么，就可以求出马歇尔需求函数。（二）对偶性定理1、对偶性问题：是指一些成对的问题和概念，它们阐述的行为原则是一致的，只是（目标函数和约束条件的）表达正好相反。（见肖红叶著高级微观经济学35页。）2、用对偶性定理描述
2、直接效用函数与间接效用函数的关系，或直接效用函数与间接效用函数间存在对偶关系。显示偏好理论（46页）（参阅厉以宁西方经济学67-71页、肖红叶著高级微观经济学18页、黄亚钧、姜纬微观经济学第一版63-67页） 1、前面是从偏好（或效用函数）到最优选择，显示偏好理论则是从主体的选择行为观察主体的偏好。 2、假定（见肖红叶著高级微观经济学18页。）（一）显示偏好弱公理1、在价格下，消费者既可以购买（这是一个商品组合！），也可以购买（这是一个商品组合！），但他购买了，这一行为显示消费者相对于更偏好。假定消费者购买正好花光了所有收入，即。而。当价格变为后（看来价格上升了），花光所有收入，消费者也只能买
3、，即（当然也可以假定，由于价格上升了，由可知，即在价格下，消费者买不起。由于，所以，即不存在。2、上述情况对应于图1，所在的预算约束线对应收入和价格，因为，当收入和价格给定时，就可以得到一条确定的预算约束线。所在的预算约束线对应收入和价格。当预算线是所在的预算约束线时，消费者既可以购买（），也可以购买（），但他购买了，这一行为显示消费者相对于更偏好。当预算线是所在的预算约束线时，消费者购买了，没有购买，这是因为在现在的预算约束下，他买不起，而不是显示消费者相对于更偏好。偏好还是优于。也就是说，这两次购买行为中，消费者显示的偏好是一致的。3、图2表示消费者的选择违反了显示偏好弱公理。当预算线是所在的预算约束线时，消费者既可以购买，也可以购买（两者都在预算约束线内），但他购买了，这一行为显示消费者相对于更偏好。当预算线是所在的预算约束线时，消费者既可以购买，也可以购买（两者都在预算约束线内），但他购买了。显示消费者相对于更偏好。也就是说，这两次购买行为中，消费者显示的偏好是不一致的。（二）显示偏好的强公理如果显示出比更可取，显示出比更可取，显示出比更可取，显示出比更可取，则必定不会显示出比更可取。这是显示偏好的可递性
