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1、 1 I题源探究黄金母题【例1】已知直线与双曲线没有公共点，求的取值范围.II考场精彩真题回放【例2】（20xx全国乙理5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的取值范围是( ).A. B. C. D.【解析】 由表示双曲线，则，得，所以焦距，得，因此.故选A.【例4】（20xx全国乙理20）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.【解析】 (1)如图所示，圆的圆心为，半径，因为，所以.又因为，所以，于是 ，所以.故为
2、定值.又，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，由，得.故点的轨迹的方程为.（2）因为直线与轴不重合，故可设的方程为，过且与垂直的直线方程为.由，得.设，则，.得.四边形的面积因为，所以，故.即四边形面积的取值范围是.【例5】（20xx全国甲理20）已知椭圆E:的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，.（1）当，时，求的面积；（2）当时，求的取值范围.【解析】（1）当时，由于，根据对称性可知，所以 ，得，所以.又，所以，所以.（2）设直线，.则，所以.同理.因为，所以.所以.【例6】（20xx天津理19）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求
3、椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.设，由方程组，消去，整理得.解得或.由题意得，从而.由（1）知，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组，消去，解得.在中，由，得，即，化简得，即，解得或.所以直线的斜率的取值范围为.【例8】（20xx山东理21）平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点.（1）求椭圆的方程；（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.（i）求证：点在定直线上;（ii）直线与轴交于点，
4、记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标.【解析】（1）由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆的方程为.（2）（i）设，由可得，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即.，将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上. （ii）由（i）知直线方程为，令得，所以，又，所以，所以，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.【例10】（20xx江苏22）如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和求证：线段
5、上的中点坐标为；求的取值范围【解析】 （1）因为，所以与轴的交点坐标为，即抛物线的焦点为，所以，故（2）设点，则由，得，故，又因为关于直线对称，所以，即，所以，又因为中点一定在直线上，所以，故线段所以，即关于的二次方程有两个不等根，因此，解得精彩解读【试题来源】人教版选修2-1第80页复习参考题A组第5题【母题评析】本题是借助直线与双曲线的位置关系求斜率的取自范围，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.对范围、最值问题的考查是近几年高考试题的热点之一，范围、最值问题的考查形式很多，灵活多变.【思路方法】圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；
6、求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题(2)两种常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造
7、不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围【命题意图】本类题主要考查数形结合思想、不等式与函数思想【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答的形式出现，难度中等偏上【难点中心】涉及距离和面积的最值问题需要表达距离和面积，建立距离或面积关于某一变量的函数关系，借助求函数最值的方法求出最值，而难点是表示距离或面积；求范围问题的难点是建立不等关系，有的利用判别式，有的利用题目所提供的或隐含的不等关系.III理论基础解题原理考点一利用定义求最值考点二利用直线与圆锥曲线的位置关系（判别式）求范围考点三利用均值不等式求最
8、值考点四 利用对勾函数求最值V举一反三触类旁通考向1定义与求最值的交汇【例8】抛物线yx2到直线2xy4距离最近的点的坐标是()A(，) B(1，1)C(，) D(2，4)【解析】选B.设P(x，y)为抛物线yx2上任意一点， 则P到直线的距离 d， x1时，d取最小值，此时P(1，1)考向2利用直线与圆锥曲线的位置关系求范围【例9】(20xx高考湖南卷)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_【解析】由题意知机器人行进轨迹为以F(1，0)为焦点，x1为准线的抛物线，其方程为y24x.设过点
9、(1，0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20.机器人 接触不到该直线，(2k24)24k40，k21.k1或k1.考向3.距离或面积与最值【例10】【邯郸市一中高三十研】已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且，求四边形面积的最小值 当直线斜率存在时，设直线方程为： 与联立得， 令，则， ，直线的方程为：， 将直线与椭圆联立得， 令， 由弦长公式，四边形的面积 ，令，上式 ， 所以最小值为.【例11】【江西省九江市三模】如图所示，已知椭圆，点是椭圆的左顶点直线与相
10、切于点.（1）求椭圆的方程；（2）若的切线与椭圆相交于两点，求面积的取值范围.【解析】（1）在上，. 又是的切线，即，解得. 椭圆的方程为. （2）设直线，则. 联立方程组，消去得：. 设，则 ， 当且仅当时“=”成立.【例12】【河南省八市重点高中质检】 已知椭圆的右焦点为，过作互相垂直的两条直线分别与相交于和四点.（1）四边形能否成为平行四边形，请说明理由；（2）求四边形面积的最小值.【解析】设点 ()若四边形为平行四边形，则四边形为菱形，与在点处互相平分，又F的坐标为,由椭圆的对称性知垂直于轴，则垂直于轴， 显然这时不是平行四边形 四边形不可能成为平行四边形. () 当直线的斜率存在且不
11、为零时，设直线的方程为 由消去得， 同理得，.令,则当直线的斜率不存在时，当直线的斜率为零时，| 的最小值为.考向3定义与均值不等式的交汇【例13】若C(，0)，D(，0)，M是椭圆y21上的动点，则的最小值为_考向3范围、最值问题与平面向量的交汇【例15】(20xx陕西西安模拟)设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围【解析】(1)由已知得，F1(，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，则y21，且2x2.所以(x，y)(x，y)x23y2x231x22，当x0，即P(0，1)时，()min2；当x2，即P(2，0)时，()max1.(2)由题意可知，过点M(0，2)的直线l的斜率存在即x1x2y1y20，即x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)2k40，解得k24，所以k24， 即k(2，)(，2)考向4 利用点在圆外求范围【例16】【江西师大附中高三上学期期末】已知椭圆C：，其右焦点，离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）已知直线与椭圆C交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围
