曲线曲面积分部分难题解答

《曲线曲面积分部分难题解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲线曲面积分部分难题解答（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、曲线曲面积分部分难题解答 曲线、曲面积分部分难题解答1（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）：（），为抛物线上从原点到点的弧；（），为联结点、和的三角形围线；（），为圆周；（），为螺线的 一段弧；（），为曲线上从点到的一段弧.解：（），（令） （）解： ; ， （）解法一：所以，解法二：化为极坐标表示： 所以， （） 2（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆上，其密度求它的总质量.解：不妨假设，其中 （公式） 3（P202,第3题）设曲线的长度为，而函数在包含的某个区域内连续.证明： 证明：由第一型曲线积分的定义故 4（P202,第4题）从原点到点沿下列不同路径分

2、别计算第二型曲线积分 （1）.为直线段；（2）.为抛物线上的弧；（3）.为从点经点到点的折线.解：（1） （2） （3） 5（P202,第5题）计算曲线积分 （1）.为从点点的上半圆周；（2）. 为从点点的直线段；（3）. 为逆时针方向的圆周解：（1） .（2） （3）.6（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周的曲线积分 解：，所以， 7（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向：（），为抛物线；（），为折线；（），的参数方程为；解：（） （）设点则 ; 原式（） 8（P202,第8题）设曲线的长度为，而函数在包含的某个区域内连续.证明： 证明：设 由第二型曲线积分的定

3、义及柯西不等式 故 9（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（）球面包含在圆柱面内的那部分面积；（）圆锥面被圆柱面截下的那一部分；（）圆柱面被圆柱面截下的那一部分.解：（）画出示意图. 将曲面方程化为，则 . （）画出示意图. 由曲面方程，得 . （）利用对称性（仅在第一卦限内计算） ，曲面（为在第一卦限的那部分，其面积设为）向面上的投影区域为. 将曲面方程化为，则 ，所以， . 10（P209,第2题）求下列曲面积分：（），式中为四面体的表面；（），式中为圆柱体的表面；（），式中为球面的表面.解：（）其中 ， ； ， ； ， ； ， ； （）其中 ， ； ， ；其向面上的投影区域为. 将曲

4、面方程化为，则 ，所以， 或者 （）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然11（P210,第3题）证明泊松公式 其中为球面，为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系，其中原点不变，使坐标平面与平面重合，并使轴垂直于平面.则有 其实根据坐标系选取方法的描述，我们不难看出轴上的单位向量就可取作平面的单位法线向量.则 （注意到，显然为点到平面的距离）.则 显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为），且它的方程应为 （因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.）得： 当固定时，表示垂直于轴平面上的一个圆周.进一步，我们把化为参数方程表示： 因此， 曲面的元素 故12（P21

5、0,第4题）设某种物质均匀分布在球面上（认为分布密度）.求它对于轴的转动惯量.解：由公式 由对称性 其中 ，则 ，所以， .因此 13（P217,第1题）沿圆锥面的下侧，求曲面积分，其中解：化为第一型曲面积分计算.的向下的法向量，所以 故（根据第一型曲面积分的计算方法）14（P217,第2题）沿椭球面的外侧，求曲面积分解：把分割为两个部分.其中，（上侧）；（下侧）.向面上的投影区域均为 故 作变量代换： 由二重积分的换元法 . 其中 所以所以， 由轮换对称性，知： ； 故 15（P217,第3题）沿球面的外侧，求曲面积分解：把分割为两个部分.其中，（上侧）；（下侧）.向面上的投影区域均为 故

6、作变量代换： 由二重积分的换元法 . 其中 所以 （1）同理 ； 由轮换对称性，知： ； 故 16（P217,第4题）设为长方体的表面.沿外侧求曲面积分 解：把分割为六个部分.其中 的上侧； 的下侧； 的前侧； 的后侧； 的右侧； 的左侧.注意到除外，其余四片曲面在面上的投影为零，因此 17（P225第1题）利用格林公式计算下面的曲线积分（的方向为正方向）：（），为圆周；（），为椭圆；（），为曲线；（），为区域；18（P225第2题）求，（为常数）其中是自点经过圆周的上半部分到点O(0,0)的半圆周.（提示：作辅助线后用格林公式）.解：. 所以，由格林公式： . 所以， （因为，）19（P22

7、5第5题）设函数在正半轴上有连续导数且若在右半平面内沿任意闭合光滑曲线，都有 求函数解：，都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线，都有 故有 即 化简，得 （1）为一阶线性微分方程，其通解为 代入条件，得 故 20（P226第6题）设是以光滑曲线为正向边界的有界闭区域，而函数在闭区域上具有连续的二阶偏导数且记 证明： 其中 表示函数沿边界曲线外法线方向的方向导数.证明：设为曲线的正向的切线向量，其方向余弦为、，则有 ，故 ，（由两型曲线积分之间的联系） （格林公式） 21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明： 证明：仿上题 （由两型曲线积分之间的联系） （格林公

8、式） 移项，即得 22（P227第8题）格林第二公式 若函数和都满足第6题中的假设，证明： 证明： （由两型曲线积分之间的联系） （格林公式） （1）由轮换对称性，知 （2）于是 23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分 其中为简单（光滑）闭合曲线，为不在上的点到上动点的向量，而为上动点处的法向量.解：设为曲线的正向的切线向量，其方向余弦为、，则有 ，又设 ，则 故 记 则它们在平面内除点外处处连续，且（一） 若点在所包围的区域外，原式=0；（二） 若点在所包围的区域内，以点为中心作一个充分小的圆取逆时针方向，使之完全包含在为边界的区域内.记介于和之间的区域为.则在由格林公式可得：所以， （格林公式）.24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） 其中是曲线