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1、平面向量复习向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来 表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的;扌3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 -AB );|AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5. 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作： a / b，规定零向量和任何向量平行。注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平
2、行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量 共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！(因为有0); 三点A B、C共线=AB、AC共线；6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。【练习】耳耳* .1、下列命题：(1)若a三，则。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同， 终点相同。(3)若= DC，则ABCD是平行四边形。(4)若fBCD是平行四边形，则AB =DC。(5)若 a=b,b=c，则 a=c。(6)若 a/b,b/c，则 a/c。其中正确的是二. 向量的表示方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 A
3、B，注意起点在前，终点在后；2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a，b，c等；3. 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a = xi yj = x,y，称x, y为向量a的坐 标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向 量的终点坐标相同。三. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面 内的任一向量a，有且只有一对实数 1、 2，使a= e1 + 2 e2。【练习】1、若 a =(1,1),b = (1，-1),c=(-1,2
4、)，如何用 a， b 表示 c ?B. =(-1,2)鸟=(5,7)D.器(2,一3)二_2、下列曙组中，能作为平面内所有向量基底的是A. =(0,0)(2 =(1,-2)C. =(3,5)(6,10)3、已知AD, BE分别是 ABC的边BC,AC上的中线,且AD二a,BE二b，则BC可用向量a,b表示为(答：-a+-b )；3 34、在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点，TT且AC = mAE+ nAF，其中 m， n R，贝U m+ n=5、在边长为2的菱形ABCD中，.BAD= 60 , E为CD中点，AE与BD相交于点F,（1）用 AB，AD 表示 AF o（ 2
5、）求出 AE bD .四. 实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定I 44-_如下：（1 ka 扎|a ,（2）当入0时，九a的方向与a的方向相同，当九 0，且a、b不同向，a b0是B为锐角的必 一 +呻扌 一 呻扌要非充分条件；当二为钝角时，a * b v 0，且a、b不反向，a b . 0是二为钝角的必要非 充分条件；、. r* 非零向量a , b夹角二的计算公式：cost =1、 已知a=(打2入)，b=(3打2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U九的取值范围是4 1(答：，:-或二、0 且=一);3 32、已知 A(1, 2), B(2, 3), C(-
6、2, 5)，则 ABC 为( )A.直角三角形B锐角三角形 C.钝角三角形D.不等边三角形1 丿33、已知 OFQ的面积为S，且OF FQ =1，若：S -,则OF , FQ夹角二的取2 2值范围是(答:匸二)；-3六. 向量的运算：1.几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”丄适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用二角形法则”：设益鳥虫，那么向量AC叫 做a与b的和，即a b Ab BC Ac ； 耳_ 斗 斗彳_I AppC =_ ; (AB_CD)_(AC _BD) =贝U | a + b + c| = 向量的减法：用“三角形法则”：设ab二a,AC
7、二b,那么a_b二忑-忑=ca，由减向 量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。【练习】_ T _1、 化简： AB + BC+CD= ; AB-2、若正方形ABCp的边长为J，AB二；,BC二b,AC二c，2.坐标运算：设 a=(X2,y2)，贝U： 向量的加减法运算：a二b=(x一二x2， %二y2) 实数与向量的积： ax一， Ux一，y一。 若A%, yj B(X2, y2)，则AB =x2 % y 2-y 一 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的 有向线段的终点坐标减去起点坐标。【练习】11、设 A(2,3), B(-1,5)，且 AC=AB，AD=3AB，
8、则 C、D 的坐标分别是2、已知点 A(2,3), B(5,4)，C(7,10)，若 A = AB + aTC(九R)，则当 时，点 P在第一、三象限的角平分线上.3、已知 A(2,3), B(1,4),且 AB=(si n x,cos y)，x, y (,)，则 x y-2 2 2 平面向量数量积：ab = %x2 %2。女口1、已知向量 a =( sinx，cosx) , b =( sinx，sinx) , c =( 1，0)。(1)若 x = 一，求33:向量a、c的夹角；Jx丁訂，函数f(x) = *的最大值为i，求的值 向量的模：|a|f：x2 y2, a =|a|2 = x2 y2
9、。女口1、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么| a 3b | =(答:屈)；2、(2009年广东卷)一质点受到平面上的三个力Fi， F2， F3 (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知Fi,F2成60角，且Fi, F2的大小分别为2和4,贝U F3的大小为 1 1 弓3、已知共面向量a, b , c均为单位向量，它们的夹角两两相同，求2 3两点间的距离：若 A xi, y1 , B x2,y2，则 | AB |=，, x2 - x,亠y2 - ?。 七向量的运算律：I1 交换律：的值。a b = b a，迁.-a = - J a , a b = b a ;4444444444-*4
10、44a b c=a b c, a-b-c=a -：；：bc,a*b=ab=a*b；呻44 -t 44呻TT*呻4彳a = a a, a b = a r,b,ab *a*cb*c。练习：下列命题中：a (b - c) = a b- a c :a(bc (a b)c:(a - b)=| a |-2|a| | b| |b| : 若 ab=O，则 a=O 或 b=O;若 a b=c b,则 a = c ;4 o H2 42424 4 2:(a b) =a b :(a-b) =a -2a b+b。其中正确的是 2结合律:3 分配律: aM2;4 242422aa b古二a注：(1)向量运算和实数运算有类
11、似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项， 两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同 除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘 法”不满足结合律，即a(b *cp- (a *b)c，为什么？，*八. 向量平行(共线)的充要条件：ab a =，b：= (a b)2 = (|a|b|)2 ：= xy -曲2 = 0。【练习】44*1、 若向量a=(x,1),b=(4,x)，当x = _时a与b共线且方向相同片呻*F呻片P弓4 口 F片2、 已知 a =(1,1),b =(4,x)， u=a+2b， v =2a+b，且
12、 u/v，贝U x=TI3、 设 PA=(k,12),PB=(4,5), P$ =y0,k，严 k= _ _时，A申,C 共线九. 向量垂直的充要条件：a _ b a b 0 ：= | a b |=| a - b | ：= X1X2 yy = 0 .1、已知 0A=(-1,2),OB =(3,m)，若 0A_OB，贝U m 二TT * Hi *沖一2、 已知n =(a,b),向量n丄m，且h1 =m，则m的坐标是十一、向量中一些常用的结论：(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用；.(2) |a|-|b|_|a_b|_|a| |b|，特别地，当 a、b 同向或有 0 二 |； b|a| |b|4 f 4 4.4,.
