《高校自主招生考试数学 真题分类解析之2、复数、平面向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高校自主招生考试数学 真题分类解析之2、复数、平面向量（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 专题之2、复数、平面向量一、选择题。1(复旦大学)设实数r1,如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是A.焦距为4的椭圆B.焦距为的椭圆 C.焦距为2的椭圆D.焦距为的椭圆2(复旦大学)复平面上点=1+2i关于直线l:|z22i|=|z|的对称点的复数表示是A.iB.1iC.1+iD.i3(复旦大学)在xOy坐标平面上给出定点A(1,2),B(2,3),C(2,1),矩阵将向量, ,分别变换成向量,如果它们的终点A,B,C的连线构成直角三角形,斜边为BC,则k的取值为A.2B.2C.0D.0,24(复旦大学)设复数z=cos+isin,w=sin+icos满足z,则sin(
2、)=A.B.,C.D.,5(复旦大学)已知复数=1+,z2=+,则复数z1z2的辐角是A.B.C.D.6(复旦大学)在直角坐标系xOy中,已知点(1,0),(, ),(, ),(1,0),(, )和(,),问在向量(i,j=1,2,3,4,5,6,ij)中,不同向量的个数是A.9B.15C.18D.307(复旦大学)给定平面向量(1,1),那么,平面向量(, )是将向量(1,1)经过A.顺时针旋转60所得B.顺时针旋转120所得 C.逆时针旋转60所得D.逆时针旋转120所得8(复旦大学)设有复数=, =+isin ,令=,则复数+2+3+2 011=A.B.C.D.9(复旦大学)将复数z=(
3、sin 75+isin 15)3 (其中i=)所对应的向量按顺时针方向旋转15,则所得向量对应的复数是A.+ iB.+ iC.D.10(复旦大学)设S是Oxy平面上的一个正n边形,中心在原点O处,顶点依次为,有一个顶点在正y轴上.又设变换是将S绕原点O旋转一个角度使得旋转后的图形与原图形重合,1表示的反变换(即旋转角度大小和相同但方向相反),变换是将S作关于y轴的对称变换(即将(x,y)变为(x,y),表示先作变换再作变换,而,等的含义类推,则有A.=B.=1 C.=D.=11(同济大学等九校联考)i为虚数单位,设复数z满足|z|=1,则|的最大值为A.1B.2C.+1D.2+12(同济大学等
4、九校联考)向量a,b均为非零向量,(a2b)a,(b2a)b,则a,b的夹角为A.B.C.D.13(清华大学等五校联考)设向量a,b满足=1,ab=m,则(tR)的最小值为A.2B.C.1D.14(清华大学等五校联考)设复数w=()2,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为A.B.C.D.15(清华大学等七校联考)设复数z满足1且= ,则|z|=A.B.C.D.16(清华大学等七校联考)向量ae,=1,若tR,则A.aeB.a(a+e)C.e(a+e)D.(a+e)(ae)17(清华大学等七校联考)若复数的实部为0,Z是复平面上对应的点,则点Z(x,y)的轨迹是A.一条直线B.一条线段C.
5、一个圆D.一段圆弧二、填空题。18(南京大学)已知向量a、b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为,则以3ab和a+b为边的平行四边形的面积为.19(南京大学)z为模大于1的复数,=cos isin .,则z=.20(同济大学等九校联考)直角三角形ABC中,A是直角,A为EF中点,且EF与BC夹角为60,BC=4,EF=2,则=.三、解答题。21(清华大学)sin t+cos t=1,设s=cos t+isin t,求f(s)=1+s+.22(北京大学等三校联考)向量, 的夹角为,=2,=1,=t, =(1t),|=f(t)在t=时取得最小值,若0,求的取值范围.k的方程进行求解.= ,=,=
6、,故点A,B,C的坐标分别是A(2+2k,1),B(4+3k,1),C(4+k,1),由于斜边为BC,故ABAC,即=0,即(2+k,0)(2k,2)=0,即(2+k)(2k)=0,由于2+k=0时,A,B重合,故只能是2k=0,即k=2.故选B.4.C【解析】直接计算z,根据复数相等的充要条件得出关于, 的三角函数关系式,通过这个关系式求解.z=(cos +isin )(sin icos )=(sin cos +sin cos )(cos cos sin sin )i,根据已知可得,sin cos +sin cos =,cos cos sin sin =0,根据和差化积公式和两角和的余弦公式
7、,得sin(+)cos()=,cos(+)=0,由此得cos()=,所以sin()=.选C.同的向量的个数是3066=18.选C.7.C【解析】向量(1,1)的复数表示是(cos 45+isin 45),向量(, )= (, ).由于cos 105=,sin 105=,所以向量(, )的复数表示是(cos 105+isin 105),即(cos 45+isin 45)(cos 60+isin 60).选C.8.A【解析】1=+ i=cos +isin ,=cos +isin ,+2+3+2 011= ,选A.9.A【解析】z=(sin 75+isin 15)3=(cos 15+isin 15)
8、3=cos 45+isin 45,所以将其所对应的向量按顺时针方向旋转15后得到的向量对应的复数为Z=(cos 45+isin 45)cos(15)+isin(15)=cos 30+isin 30=+ i.10.B【解析】不失不一般性,我们把x轴、y轴对换,并设正n边形的外接圆半径为1.对于复平面12.B【解析】先找到向量a,b的模之间的关系,再代入已知表达式求出向量a,b夹角的余弦值,从而a,b的夹角易求. 依题知(a2b)a=|a|22ab=0,(b2a)b=22ab=0,所以|a|2=|b|2,即|a|=|b|,故|a|22ab=|a|22|a|2cos=0,可得cos=,又因为0,所以
9、=.故选B.13.D【解析】|a+tb|2=1+t2+2mt,所以min=.14.A【解析】w=()2= =ai,因为w的实部为2,所以a=2,故虚部为.选A.15.D【解析】由=得2+1=|z|,解得=2(舍去),或=.选D.16.C19.2(cos +isin ).【解析】设z=a+bi,则abi+= cos isin .,(*)两式平方相加得 (a2+b2)= ,解得a2+b2=4或(舍去). a2+b2=4,代入(*)式得a=2cos ,b=2sin , z=2(cos +isin ).20.1【解析】如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立一个平面直角坐标系.先设E在ABC内,如
10、图1所示.不妨设C=,则B(4sin,0),C(0,4cos),E(cos(30+),sin(30+),F(cos(180+30+),sin(180+30+).=(cos(30+)4sin ,sin(30+),=(cos(180+30+),sin(180+30+)4cos ).=cos2(30+)+4sin cos(30+)sin2(30+)4cos sin(30+)=1+4sin(30+)=3.若F在ABC内,如图2所示,同理可得=1.21.f(s)=【解析】由sin t+cos t=1得:sin (t+)=1,t+=2k+或2k+(kZ),t=2k或2k+(kZ).当s1时,f(s)= = = =,显然t=2k+( kZ),f(s)= .
