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1、-二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如y =a*2+b*+c （a ，b ，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数y =a*2 +b*+c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量*的二次式，*的最高次数是2 a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y=a*2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(0，0
2、)y 轴* 0 时， y 随 * 的增大而增大； * 0 时， y 随* 的增大而减小； * = 0 时， y 有最小值0 a 0 时， y 随 * 的增大而减小； * 0向上(0，c)y 轴* 0 时， y 随 * 的增大而增大； * 0 时， y 随* 的增大而减小； * = 0 时， y 有最小值c a 0 时， y 随 * 的增大而减小； * 0向上(h ，0)*=h* h 时， y 随 * 的增大而增大； * h 时， y 随* 的增大而减小； * = h 时， y 有最小值0 a h 时， y 随 * 的增大而减小； * 0向上(h ，k )*=h* h 时， y 随 * 的增大而
3、增大；* h 时， y 随* 的增大而减小； * = h 时， y 有最小值 k a h 时， y 随 * 的增大而减小；* 0时，抛物线开口向上，对称轴为*= - b2a,顶点坐标为-b2a,4ac- b24a.当*-b2a时，y随*的增大而增大；当*=-b2a时，y有最小值4ac- b24a .2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为*=- b2a , 顶点坐标为-b2a,4ac- b24a.当*-b2a时,y随*的增大而减小;当*=-b2a时 , y有最大值4ac- b24a. z.-. z.-六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=a*2 +b*+c（a，b，c为常数，a0）；2
4、. 顶点式：y=a(*-h)2+k（a，h，k为常数，a0）；3. 两根式（交点式）：y=a(*-*1)(*-*2)（a0，*1，*2是抛物线与*轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与*轴有交点，即b2- 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 当a 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当a 0 时，抛物线与y 轴的交点在*轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当
5、c= 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ； 当c 0 时，图象与*轴交于两点A(*1，0)，B (*2，0 )(*1*2) ，其中的*1，*2是一元二次方程a*2 +b*+c = 0(a 0)的两根 当D= 0 时，图象与*轴只有一个交点； 当D 0 时，图象落在*轴的上方，无论*为任何实数，都有y 0 ；2 当a 0 时，图象落在*轴的下方，无论*为任何实数，都有y 0.抛物线与y轴负半轴相交c0.对称轴*=-2a在y轴右侧b0 时,图象过一、三象限;当 a0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c0时,二次函数y=a*2+b*+c的开口向上,而一次函
6、数y= a*+c应过一、三象限,故排除C;当a0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3. 二次函数的性质例4对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-*2+3,请说出他们的两个相同点:, ; 再说出它们的两个不同点:,.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑增减性图象的形状 最值自变量取值范围交点等.解:相同点:图象都是曲线,都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:图象形状不同,自变量取值范围不同,一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.4. 二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=*2+(2k+1)*-k2+k,(1)求证:此抛物线与*轴总有两个不同的交点.2(2)设*1、*2是此抛物线与*轴两个交点的横坐标,且满足*12+*2=-2k2+2k+1.求抛物线的解析式.设点P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线
