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1、精品文档解析几何中求 轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“ 建系设点、列出条件、代 入坐标、整理化简、限制说明五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法.例1 已知直角坐标平面上点 Q （2, 0）和圆C: x2 y2 1,动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0 （如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.1解：设M （x, y）,直线MN切圆C于N则有MNMQ22MO|ONMQ(x 2)2 y2.整理得(2 1)x2 ( 2 1)y242x（1 4 2） 0,这就是动点#欢迎下载M的轨迹方程.,、一.5, ,5若 1,方程化为x 2 ,它表示过点（5,0）
2、和x轴垂直的一条直线;44若入W 1,方程化为（x J22 ,1)2 2它表示以（二一 ,0）为圆心,2 1.1 3 2为半径的圆.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的 定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2已知 ABC中， A、 B、 C的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次构成等差数列，且a c b , AB 2 ,求顶点C的轨迹方程.2解：如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系 .由题意，a,c,b构成等差数列， 2c a b (两定点的距离等于定长一椭圆)，即|CA| |CB 121AB
3、 | 4 ,又CB CA ,C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，22a 2,c 1, b S3,故 C 的轨迹方程为 1(x 0,x2).43三、点差法将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得 两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为 点差法。例3抛物线y2 4x焦点弦的中点轨迹方程是 。四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和 要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4已知点A( 3,2)、B(1, 4),过A、B作两条互相垂直的直线l1和求li和12的交点M的轨迹方程.五、参数法参数法是
4、指先引入一个中间变量(参数)，使所求动点的横、纵坐标x,y间建 立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x,y间的直接关系式，即得到所 求轨迹方程.例5过抛物线y2 2 Px ( p 0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB ,求 弦AB的中点M的轨迹方程.例6设椭圆中心为原点O, 一个焦点为F (0, 1),长轴和短轴的长度之比为t.(1)求椭圆的方程；(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为 Q点P在该直线上，且-OP当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是OQ什么图形.六、交轨法求两曲线的交点轨迹 时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这 些动曲线的联系，
5、然后 消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.22例7如右图，垂直于x轴的直线交双曲线 与 4 1于M、N两点，A,A2为a b双曲线的左、右顶点，求直线 A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.例8已知两点P( 2,2),Q(0,2)以及一条直线：y=x,设长为石 的线段AB在直线 上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程.七、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示,再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例9如图，从双曲线C：x2 y2 1上一点Q引直线l:x y 2的垂线，垂足为N
6、 ,求线段QN的中点P的轨迹方程.例10已知抛物线y2 x 1 ,定点A (3, 1), B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BPPA=1:2,当点B在抛物线上变动时，求点 P的轨迹方程， 并指出这个轨迹为哪种曲线.3解:设弦端点 A(x1, y1), B(x2, y2)y12 4x.AB中点为M(x,y),则,I Y24x2y1士 yi y 4 因为 xix2yiy2yiy2xiX22yy 所以 y Pk9k ，消去k ,得y2pk k 2(x 1)x 14解：由平面几何知识可知，当 ABM为直角三角形时，点M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心即为 AB的中点(1, 1),半径为1
7、 AB 巫，方程为 22(x 1)2 (y 1)2 13.故 M 的轨迹方程为(x 1)2 (y 1)2 13.5解：设M(x,y),直线OA的斜率为k(k0),则直线OB的斜率为1 ，一-.直线OA k2Pk2 ,即A(学,2p),同理可得2Pk2 kk的方程为y kx ,由 2B(2pk2, 2pk). x 由中点坐标公式，得y 迹方程.y kxxy2解得y 2px yP . 2p(x 2 p),此即点M的轨26解：(1)设所求椭圆方程为 匕 ax2-v 1(ab0).由题意得 b2a2 b2i t，1,解得t22d.一c cc cc ct 12,，22,，22,2所以椭圆方程为t (t
8、1)x (t 1)y t .b21t2 1.t2(t21)x2(t21)v2t2设点 P(x,y),Q(x1,y1),解方程组 t (t1)x1(t1)y1t，得y1 tx1,Xi1T 1), 由t，2(t2 1).|OP|oQt.t2OPoq区得Xit我或t2 一 . 2,t,2, t22,轨迹方程为12y(X季和y(x其轨迹为抛物线x2y在直线x.2右侧的部分和2抛物线X2负在直线X彳在侧的部分7解:设 P(x,y)及 M(Xi，yi),N(Xi, yi),又 Ai( a,0),A2(a,0),可得直线AiM的方程为yy(x a) x1 a直线A2 N的方程为yXi(X a)a由X得y22
9、Xi2y12 a(xa2)2X2 a2Xi a2 yi b2i,2yib2br(a2 Xi2),代入得y2 ab2a(X2 a2),化简得2 y b2i,此即点P的轨迹方程.b时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆;b时，点P的轨迹是椭圆.8解:PA和QB的交点Mx,y)随A、B的移动而变化，故可设A(t,t),B(t 1,t 1),PA： y 23(x 2)(t2), QB： y 2 Jx(t 1),消去 t，得t 2t 1所以点M的轨迹方程是x2 y2 2x 2x 2y 8 0.9解：设 P(x, y),(xi, yi) ,则 N(2x xi,2y y1).因为N在直线l上,2x xi
10、 2y yi 2.-又 PNl W y-i,即 x yyixi 0 .-xxi3x y 2又点Q在双曲线C上xi - 联解得23y x 2(3x y 2)2 (3y x 2)2 i ,化简整理得：2x2 2y2 2x 2y i 0,此即 22动点P的轨迹方程.i0解：设P(x,y),B(xi,yi),由题设，P分线段AB的比公P 2 ,一PBx 3上色,y Uyk解彳#xi -x 3,yi -y 1 .又点B在抛物线y2 x ii 2 i 2 i 2222上，其坐标适合抛物线方程，(-y 1)2 (3x 3) i.整理得点P的轨迹方 2222程为(y 1)2 -(x 3,其轨迹为抛物线. 333欢迎您的下载,资料仅供套考!致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求y2 2x 2y 8 0.当t= 2,或t= 1时，PAt QB的交点坐标也满足上式,
