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1、导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。已知函数f(x)，x3-(a2)x22ax(a0),求函数的单调区间32f(x)，x-(a+2)x+2a，(x-a)(x-2)例1已知函数f(x)，x-空-(a+2)lnx(a0)求函数的单调区间xf，(x)，x2一(a+2)x+2ax2(x-2)(x-a)x2例3已知函数/x，牛汙xGR，其中aR。(I)当a，1时，求曲线y，fx在点G,f2)处的切线方程;(I
2、I)当a丰0时，求函数fx的单调区间与极值。解：(I)当a，1时，曲线y，f(x)在点G,f(2)处的切线方程为6x+25y一32，0。(II)由于a丰0,所以广C),辿z由fx),0，得廿-ax2=a。这两个实根都在定fx，2a(x2+1)-2x2ax-a2+1)-2ax一aC211)xa-义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a的取值分a0和a0时，则珥x2。易得f(x在区间(-8，-a,(a,+8)内为减函数,1(在区间一一,a为增函数。故函数f(x)在x,-处取得极小值f一一1a函数f(x在x2=a处取得极大值f(a，1。当ax2。易得f(x)在区间Y，a)，(一1,+8)内为
3、增函数，在区间(a,-丄)为减函数。故函数f(x在x，一丄处取得极小值f-a1af(x在x=a处取得极大值f(a，1。2以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。(区间确定零点不确定的典例)例4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3WaW5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9WxWll)时，一年的销售量为(12-x)2万件.(1) 求分公司
4、一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为:(2)L!(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12x)(18+2a3x).L=(x3a)(12x)2,xW9,ll.令L=0得x=6+2a或x=12(不合题意，舍去).318+2ax=L(x)3X=12#L(x)12L=L(6+2a)=(6+2a-3-a)max3312-(6+2a)2=4(331a)3.所以Q(a)=9(6-a),4(31a)3,“929=a5.2答若3WaV9，
5、则当每件售价为9元时,2分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6-a)(万元);.3WaW5,.8W6+2aW2833在x=6+2a两侧L的值由正变负.3所以当8W6+2aV9即3WaV9时,32L=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).max当9W6+2aW28即9WaW5时，33#分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3-1a)3(万元).3若9WaW5,则当每件售价为(6+2a)元时，23(导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例)例2、已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2(I) .求函数f(x)的单调区间；(II) .求函数f)在kt
6、+2#o)上的最小值;(III)对一切的xe(0,+a),2f(x)g(x)+2恒成立，求实数a的取值范围.解：(I)f(x)=lnx+1,令f(x)0,解得0x1111(II)(i)0tt+2，t无解；(ii)0t0,解得x1,f(x)的单调递增是(e,+s),e(iii)-,t1时，f(x)在t,t2单调递增,f(x)f(t)tint9分ef(x)imin1e，tlnte0tlnxx(分离参数)，设hx)lnx22x2,)131(x-1)3x1)12分2x2令h(x)0，得x1,x-3(舍)则h匕+-x22x2h(x)0当0x0；当x1时,当x1时，h(x)取得最大值，h(x)=-2max
7、二求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按A。、=0、AV0；在厶。时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。)1已知函数f(x)-x3-1x2+(1a)x，求函数的单调区间32f(x)ax2-x(1a)(1x)(ax1+a) 例2已知函数f(x)(1+a)lnx+-x2(a0),求函数的单调区间2ax2-x(1
8、-a)(x-1)(ax-1+a)J(x)xx 例3已知a是实数，函数f(x)yx(xa)(I) 求函数f(x)的单调区间；(II) 设g(a)为f(x)在区间0,2上的最小值。(i) 写出g(a)的表达式；(ii) 求a的取值范围，使得-6，g(a)，-2。解：(I)函数的定义域为0,E，广0),由f(x)0得x3。考虑3是否落在导函数f(x)的定义域(0,+)内，需对参数a的取值分a0及a0两种情况进行讨论。(1) 当a0时，则f(x)0在(0,+)上恒成立，所以f(x)的单调递增区间为【0,+)。aa(2) 当a0时，由f(x)0，得x3;由f(x)0，得0x0时，f(x)的单调递减区间为
9、0,3，f(x)的单调递增区间为3,+。-3L3丿(II)(i)由第(I)问的结论可知：(1) 当a0时，f(x,在【0,+)上单调递增，从而f(x,在【0,2上单调递增，所以g(aLf(0)0。(,airaa(2) 当a0时，f(x)在0,_上单调递减，在一,+上单调递增，所以：-3L3丿当一“(0,2)，即0a6时，f(x)在【0,2上单调递减，所以g(a)=f(2)=J2(2a)。0,a0综上所述，g(a,=-冬3眉，0a66(ii)令-6g(a,若a0，无解;若0a6，/2aa由-6-可解得3a6由-6-&2(2a)-2解得6a2+3：2综上所述，a的取值范围为3a2+3、辽。三.求导
10、后，因导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)不确定，而引起的讨论例1已知函数f(x)=-ax2x求函数的单调区间2f，(x)=ax1例2已知函数f(x)=lnxax求函数的单调区间f，(x)=af,(x)=ax+1xx例3设kR，函数f(x)=I丄,x1试讨论函数F(x)的单调性。I丄,x1F(x)=f(x)-kx=-kx,x1,1x,F(x)=11k(1-x)2,x1考虑导函数F(x)二0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。(一)若x1，则F(x)=1-；匕。由于当k0时，F(x)=0(1-xJ2有实根因此对参数k分k0两种情况讨论。1)2)由F(x)=0，得x=-1-士
11、Vk丿，因为k0，所以x110，得1=x1；由F(x)0,得x0时，函数F(x)在(01+)上为减函数，在(1一苓，1)上为增函数。二)若x1，则FE=-导泞。由于当k0时，FE=0无实根，而当k0和k,0两种情况讨论。1)当k0时，F(x),0在11,+8)上恒成立,所以函数F(x)在Q,+8上为减函数2)当k,0时,F(x)-忙2Jx-1由F(x)0，得x1+14k2由F(x),0,得1，x,1+14k2#11)因此，当k,0时，函数F(x)在L4k2J上为减函数，在1+,+84k2丿上为增函数。综上所述：1)函数F(x)在(一8,11)上为减函数，在(1-1,1)上为增函数，在Q,+8上
12、为减函数。2)当k0时，3)当k,0时，上为增函数。当k0时，函数F(x)在(-8,1)上为增函数，在Q,+8上为减函数。函数F(x)在(-8,1)上为增函数，在11)1,1+上为减函数，在1+,+84k2丿4k2丿#19.设a0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)X2-2(1-a)x的单调性。解：函数f(x)的定义域为(0,+8).f(x)2a(1a)x22(1a)x+1x、(1当a“1时，方程2a1-a)f2(1a)x+1=0的判别式”=12(a-1)a一k3丿 当00,f(x)有两个零点，1J(a-1)(3a-D0_1J(a-1)(3a-Dx“一0,x_+(1)12a2a(1-a)22a2a(1-a)且当0x时,f(x)0,f(x)在(0,x)与(x,+8)内为增函数;1212当x,
