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1、泰勒公式(提高班) 授课题目： 3.3泰勒公式 教学目的与要求：1.掌握函数在指定点的泰勒公式；2了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用 教学重点与难点：重点：几个常用函数的泰勒公式难点：泰勒公式的证明讲授内容：对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出 它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。在微分的应用中已经知道，当X很小时，有如下的近似等式：ex 1 x , ln( 1 x) ： x .这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.显然.在x二0处这些一次多项式及其一阶导数的
2、值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值.但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是 关于x的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小.因此， 对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同 时给出误差公式.于是提出如下的问题：设函数f(x)在含有X。的开区间内具有直到(n 1)阶导数，试找出一个关于(x - x0)的n次多项式Pn(x) =a。 ai(x-X。)a2(x-X。)2an(x-x)n(1)来近似表达f(x)，要求pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小，并给出误差f (x) - pn
3、(x)的具体表达式.下面我们来讨论这个问题.假设Pn(x)在X。处的函数值及它的直到 n阶导数在X。处的值依次与f(X。), f(X。)，,f (n)(Xg)相等，即满足Pn(X。)= f(X。), Pn(X。)= f(X。),Pn(Xo) = f(Xo)，,Pn(n)-f(n)(Xo),按这些等式来确定多项式 的系数aoaa?,a.为此，对(1)式求各阶导数，然后分 别代人以上等式，得ao=f(xo)，1 a f (xo)，2!a2=f ”(xo),n!an=f(n)(Xo)，11即得a= f (xo) , a1 = f(xo),a2= f (xo)，an= f (xo).2!n!将求得的系
4、数ao, a1 ,a2 an代入(1 )式，有Pn(X)二 f(X) f(X)(X - Xo) f (X -X。)2 単(X-X)n. 2!n!下面的定理表明，多项式(2)的确是所要找的n次多项式.定理1 (泰勒(Taylor)中值定理)如果函数f(x)在含有xo的某个开区间(a,b)内具有直到(n 1)阶的导数，则当任一 X- (a,b)，有f(X)二 f(Xo)f (X)(X-X) (X-Xo)22!其中(n)(Xo)(X Xo)n +Rn(x), n!Rn(X)1)!f (n d)()f ()(X-X)n1 ,(3)(4)这里是Xo与X之间的某个值.证明Rn(X)二f(X)- Pn(X)
5、.只需证明Rn(x)二(n 1)!(X-X)n1(在Xo与X之间).由假设可知，Rn(x)在(a,b)内具有直到(n 1)阶导数，且Rn(Xo) =Rn(Xo) = Rn(Xo)=二 Rn(X。)= 0.n 1对两个函数 Rn(x)及(X-X。) 在以Xo及X为端点的区间上应用柯西中值定理(显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件)，得(在Xo与X之间)，Rn(X)= Rn(X)-Rn(Xo)Rn( l)(x x)n 1 (x x)n 1 -0 (n - 1)( 1 Xo)n再对两个函数Rn(x)与(n 1)(x -Xo)n在以Xo及1为端点的区间上应用柯西中值定理, 得Rn(l)Rn( 1)-
6、Rn(Xo)Rn ( 2 )(n 1)( 1 - xo )n(n 1)( 1 - xo)n - O n(n 1)( 2 - xo)n(2在Xo与之间).照此方法继续做下去，经过 (n，1)次后.得Rn(X)Rn(n1)Q(X-Xo)n1 - (n 1)!(在Xo与n之间，因而也在 Xo与X之间).注意到Rn(n北(x) = f (n北(x)(因pn(n*)(x) = o)，则由上式得n*FRn(x)(X-Xo)(在 Xo 与 X 之间)，(n 1)!定理证毕.多项式(2)称为函数f (X)按(X-Xo)的幕展开的n次近似多项式，公式(3)称为f (x)按(X-X。)的幕展开的带有拉格朗日型余项
7、的n阶泰勒公式.而Rn(x)的表达式 称为拉格朗日型余项.当n = O时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：f (x) = f (Xo) f ( )(x -Xo)(在 Xo 与 X 之间).因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.出泰勒中值定理可知，以多项式pn(x)近似表达函数f (X)时，其误差为Rn(x).如果对于某个固定的 n，当(a,b)时，f(n+)(x)兰M，则有估计式：Rn(X)(n 1) /(x-XoT1(n +1!) M X-X0 (n 1)!(5)讪旦0.x 池(x -Xo)由此可见，当xt Xq时误差Rn (x)是比(X - X。)咼阶的无穷小，即Rn(X)=O(X -
8、X。)叮.这样，我们提出的问题完满地得到解决在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成f(X)二 f(Xo)f (Xo)(X -X。)(n) /f(X。)n!(x - Xo)nRn (x)的表达式(6)称为佩亚诺(Pea no)型余项，公式(7)称为f (x)按(x-x0)的幕展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.在泰勒公式中，如果取Xo =0，则在0与x之间.因此可令:=“X(0 ： v : 1)，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓麦克劳林(Maclauri)公式f (x) = f (0) f (0)x川 f (0)xn- xn 1( 0 ： v : 1 )2!n!(n + 1)!(
9、8)在泰勒公式(7)中，如果取X。=0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式f (n) (0)f (x f (0) f (0)xxno(xn).n!由(8 )或(9 )可得近似公式：f(n)(0)n!误差估计式(5)相应地变成Rn(X)乞 M(n 1)!(10)写出函数f(x)=ex的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.因为 f (x)二 f (x) 1(n)(x)=ex,所以f(0) = f (0) = f (0)二二 f(n)(0) =1.把这些值代入公式(8)，并注意到f(n 1)xHe便得2ex -1 x xn e75+2!n! (n 1)!xn1(0 : 1).由这个公式可知，若把e
10、x用它的n次近似多项式表达为ex ： 1 x2x_2!n!这时所产生的误差为Rn(X)二e，ex(n 1)!如果取x =1，则得无理数e的近似式为e : 1 V丄丄,2!n!其误差Rn (n 1)! (n 1)!当n =10时，可算出2.718282，其误差不超过10 .求f (x) = sin x的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.因为 f (x) = cosx ,f (x) = -sin x ,f (x) = -cosx ,所以 f (0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = -1, f (0) = 0等等它们顺序循环地取四个数0, 1, 0, 一 1
11、，于是按公式(8)得(令 n = 2m)352 m 1sin x =x -丄-(-1)心 XR23!5!(2m 1)!其中Ex (2m 匕R2m (x)-2(2m 1)!(0 ： v : 1).如果取m= 1,则得近似公式这时误差为R2 =:sin x 常3 sin(rx _ -)23x 3!(0 :： V : 1)如果m分别取2和3，则可得sin x的3次和5次近似多项式1 s i rx : x x3!1315sin x : x x x ，3!5!其误差的绝对值依次不超过在图x5!类似地，还可以得到1 中,51 |7和 x 以上三个近似多项式及正弦函数的图形都画 7!其中其中cosxdx2x
12、42!4!R2m 1（X）二m 1 2m “(T)丽xR2m1(x)，cosx +(m +1)兀】x2m七 X (2m2)!(0 1)；ln(1 x)X3 T.xn+Rn(x),Rn(X)二(-1)n(n 1)(1次)nxn 1( 0 1)；(1 X)： =1：X X2(厂(n T)xnRn(x),2!n!(0 : 1)其中 Rn (x) =(_n WE (1 Q 乂1(n +1)!易知相应的带有佩亚诺型余项的麦克劳由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式， 林公式。除了洛必达法则之外，泰勒公式也是极限计算的重要方法。例3利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 lim sinxxcosx7
13、sin x解 由于分式的分母 sin 3xx3(x 0)，只需将分子中si nx和xcosx分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示，即33sin x=xo(x3),xcosx =xo(x3).3!2!33isin x - xcosx对上式作运算时，把两个比=x 哙。(x3)x 上一巩门亏3 o(x3),33x高阶的无穷小的代数和记为o(x )，故x3 o(x3)sin x xcosx31lim3二 lim3.x 10sin3 x x 0x33(如本例注本例解法就是用泰勒公式求极限的方法，这种方法的关键是确定展开的函数 中的sinx和cosx)及展开的阶数(如本例中的3阶)。补充例题 设且f ”(x)0.证明：f(x)_0.xT x证明 lim他=1X )0 xf军)2x2! f (0) =0, f(0) =1而f (x)在X = 0点处的一阶泰勒公式为f(x)= f (0 f (0)xUx2，又由于 f(X)0，故 f(x)-x.2!小结与提问：小结：泰勒公式提供了 “判定函数极值的第二充分条件”的分析依据；提供了“利 用二阶导数符号来判定函数曲线凹向”的分析依据；提供了近似计算的理论提问:基础。(n 1)泰勒定理的余项有哪些形式?若 Rn(xH(n i)!()(X - X0 )n 1 是 f (x)在 x0点的n阶泰勒公式的余项，问下列等式是否成立(1)当x固定时
