二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系

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1、二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系?被浏览 8,9732 个回答猴子微信公众号：猴子聊人物之前你已经了 解概率的基础知识（如果还不知道概率能干啥，在生活中 有哪些应用的例子，可以看我之前的投资赚钱与概 率）。 今天我们来聊聊几种特殊的概率分布。这个知识目前来 看，还没有人令我满意的答案，因为其他人多数是在举数 学推导公式。我这个人是最讨厌数学公式的，但是这并不 妨碍我用统计概率思维做很多事情。相比熟悉公式，我更 想知道学的这个知识能用到什么地方。可惜，还没有人讲 清楚。今天，就让我来当回雷锋吧。 首先，你想到的问题肯定是：1. 什么是概率分布？ 2

2、. 概 率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用？好了，我们先看 下：什么是概率分布？1. 什么是概率分布？要明白概率分布，你需要知道先两个 东东：1）数据有哪些类型 2）什么是分布数据类型（统计 学里也叫随机变量）有两种。第 1种是离散数据。离散数 据根据名称很好理解，就是数据的取值是不连续的。例如 掷硬币就是一个典型的离散数据，因为抛硬币的就 2种数 值（也就是 2种结果，要么是正面，要么是反面）。你可以 把离散数据想象成一块一块垫脚石，你可以从一个数值调 到另一个数值，同时每个数值之间都有明确的间隔。第 2 种是连续数据。连续数据正好相反，它能取任意的数 值。例如时间就是一个典型的连续数据 1.

3、25 分钟、1.251分 钟，1.2512 分钟，它能无限分割。连续数据就像一条平滑 的、连绵不断的道路，你可以沿着这条道路一直走下去。 什么是分布呢？数据在统计图中的形状，叫做它的分布。 其实我们生活中也会聊到各种分布。比如下面不同季节男 人的目光分布.。各位老铁，来一波美女，看看你的目光停在哪个分布的地 方。美女也看了，现在该专注学习了吧。现在，我们已经知道 了两件事情：1）数据类型（也叫随机变量）有 2种：离散 数据类型（例如抛硬币的结果），连续数据类型（例如时 间） 2）分布：数据在统计图中的形状现在我们来看看什 么是概率。概率分布就是将上面两个东东（数据类型+分 布）组合起来的一种表

4、现手段：概率分布就是在统计图中 表示概率，横轴是数据的值，纵轴是横轴上对应数据值的 概率。很显然的，根据数据类型的不同，概率分布分为两 种：离散概率分布，连续概率分布。那么，问题就来了。 为什么你要关心数据类型呢？因为数据类型会影响求概率 的方法。对于离散概率分布，我们关心的是取得一个特定 数值的概率。例如抛硬币正面向上的概率为:p（x二正面）=1/2 而对于连续概率分布来说，我们无法给出每一个数值的概 率，因为我们不可能列举每一个精确数值。例如，你在咖 啡馆约妹子出来，你提前到了。为了给妹子留下好印象， 你估计妹子会在5分钟之内出现，有可能是在 4分钟10秒 以后出现，或者在 4分钟10.5

5、 秒以后出现，你不可能数清 楚所有的可能时间，你更关心的是在妹子出现前的 1-5 分 钟内（范围），你把发型重新整理下（虽然你因为加班头发 已经秃顶了，但是发型不能乱），给妹子留个好印象。所 以，对于像时间这样的连续型数据，你更关心的是一个特 定范围的概率是多少。2. 概率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用？当统计学家们 开始研究概率分布时，他们看到，有几种形状反复出现， 于是就研究他们的规律，根据这些规律来解决特定条件下 的问题。想起，当年为了备战高考，我是准备了一个自己 的“万能模板”，任何作文题目过来，我都可以套用该模板， 快速解决作文这个难题。当你，我高考的作文分数还是不 错的。（我聪明吧

6、）同样的，记住概率里这些特殊分布的好 处就是：下次遇到类似的问题，你就可以直接套用“模板” （这些特殊分布的规律）来解决问题了。酷不酷？爽不 爽？接下里，我们一起来聊聊常见的 4 种概率分布。1）3 种离散概率分布二项分布 泊松分布 几何何分布 2）1 种连 续概率分布正态分布在开始介绍之前，你先回顾下这两个 知识：期望：概率的平均值 标准差：衡量数据的波动大 小。第 1 种：二项分布我们从下面 3 个问题开聊：1. 二项分布 有啥用？ 2. 如何判断是不是二项分布？ 3. 二项分布如何 计算概率？1. 二项分布有啥用呢？当你遇到一个事情，如果该事情发 生次数固定，而你感兴趣的是成功的次数，那

7、么就可以用 二项分布的公式快速计算出概率来。例如你按我之前的 投资赚钱与概率买了这 5家公司的股票（谷歌，Facebook，苹果，阿里巴巴，腾讯），为了保底和计算投入 进去多少钱，你想知道只要其中 3个股票帮你赚到钱（成 功的次数）的概率多大，那么这时候就可以用二项分布计 算出来。牛掰吧？2. 如何判断是不是二项分布？首先，为 啥叫二项，不叫三项，或者二愣子呢？故明思义，二项代 表事件有 2 种可能的结果，把一种称为成功，另外一种称 为失败。生活中有很多这样 2种结果的二项情况，例如你 表白是二项的，一种成功（恭喜你表白成功，可以恋爱 了，兴奋吧？），一种是失败（被拒绝了，伤不伤心？）。 你向

8、老板提出加薪的要求，结果也有两种（二项）。一种是 成功（加薪成功，老板我爱你），一种是失败（麻蛋，不给 涨薪老子不干了，像是这种有统计概率思维的人，是很稀 缺的，明天就投简历出去） 那么，什么是二项分布呢？只要符合下面 3个特点就可以 判断某事件是二项分布了：1）做某件事的次数（也叫试验 次数）是固定的，用 n 表示。（例如抛硬币 3 次，投资 5 支 股票），2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者 失败）（例如每一次抛硬币有 2个结果：正面表示成功，反 面表示失败。每一次投资美股有 2个结果：投资成功，投 资失败）。3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率 用 p 表示（例如每一次抛

9、硬币正面朝上的概率都是 1/2。你 投资了 5 家公司的股票，假设每一家投资盈利成功的概率 都相同）4你感兴趣的是成功x次的概率是多少。那么就 可以用二项分布的公式快速计算出来了。（你已经知道了我 前面讲的 5家美股的赚钱概率最大，所以你买了这 5家公 司的股票，假设投资的这 5家公司成功的概率都相同，那 么你关心其中只要有 3个投资成功，你就可以赚翻了，所 以想知道成功 3 次的概率）根据这 4个特点，我们就知道抛硬币是一个典型的二项分 布，还有你投资的这 5支股票也是一个典型的二项分布 （在假设每家公司投资成功的前提下）。3. 二项分布如何计算概率？怎么计算符合二项分布事件的 概率呢？也就

10、是你想知道下面的问题：你抛硬币 3次，2次 正面朝上的概率是多少？ 你买了这 5家公司的股票，3支 股票赚钱的概率是多大？上面我们已经知道了二项分布的 4 个特点，并知道每个特点的表示方法：1）做某件事次数是 固定的，用 n 表示2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败）3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用 p 表示4）你感兴趣的是成功x次的概率是多少这时候，二项分布 的公式就可以发挥威力了：这里你也别害怕数学公式，每 一项的含义我前面已经讲的很清楚了。这个公式就是计算 做某件事情n次，成功x次的概率的。很多数据分析工具（Excel，Python， R）都提供工具让你带入你研究

11、问题的数 值，就能得到结果。例如，抛硬币5次（n），恰巧有3次 正面朝上（x=3，抛硬币正面朝上概率p=1/2），可以用上面 的公式计算出出概率为31.25% （用Excel的BINOM.DIST函 数Python，R都可以快速计算） 二项分布经常要计算的概率还有这样一种情况：抛硬币 5 次硬币至少有3次正面朝上（即x>=3）的概率是多 少？你能直接想到的简单方法是：将恰巧有 3次，恰巧有4 次，恰巧有5次的概率相加，结果便是至少3次，为 50%。但是如果次数很多，这样的办法简直是给自己挖了一个大 大的坑。我们用逆向思维换个思路，至少3次正面朝上的 反向思考是什么呢？反向思路就是最多 2

12、 次正面朝上。只要我们先计算出最多 2 次正面朝上的概率p(x<=2)，那么至少3次正面朝上的概 率就是1-p(x<=2)。这样用逆向思维，就把一个复杂的问 题，化解为简单的问题。因为求做多 2次朝上的概率比较 简单：p(x<=2)=p(0)+p(1)+p(2) 最好提下二项分布的：期望 E(x)=np (表示某事情发生 n 次，预期成功多少次。)知道这个期望有啥用呢？做任何事 情之前，知道预期结果肯定对你后面的决策有帮助。比如 你抛硬币5次，每次概率是1/2，那么期望E(x)=5*1/2=2.5 次，也就是有大约3次你可以抛出正面。在比如你之前投 资的那5支股票，假设每支股

13、票帮你赚到钱的概率是 80%， 那么期望E(x)=5*80%=4，也就是预期会有4只股票投资成 功帮你赚到钱。第2种：几何分布其实我一直把几何分布，叫做二项分布 的孪生兄弟，因为他两太像了。只有 1点不同，就像海尔 兄弟只有内裤不同一样。我们还是从下面这个套路聊起来 起找出这个不同的“劲爆点”：1 .几何分布有啥用？ 2. 如何判断是不是几何分布？ 3. 几何分布如何计算概率？ 1.几何分布有啥用？如果你需要知道尝试多次能取得第一次 成功的概率，则需要几何分布。2. 如何判断是不是几何分 布？只要符合下面4个特点就可以判别你做的事情是就是 几何分布了：1)做某事件次数(也叫试验次数)是固定 的

14、，用n表示（例如抛硬币 3 次，表白 5 次），2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败） （例如每一次抛硬币有 2 个结果：正面表示成功，反面表 示失败。每一次表白有 2 个结果：表白成功，表白失败）。3）每一次“成功”的概率都是相等的，成功的概率用 p 表示 （例如每一次抛硬币正面朝上的概率都是 1/2。 假设你是初出茅庐的小伙子，还不是老油条，所以你表白 每一次成功的概率是一样的）4）你感兴趣的是，进行 x 次尝试这个事情，取得第 1 次成 功的概率是多大。（例如你在玩抛硬币的游戏，想知道抛 5次硬币，只有第 5 次（就是滴 1 次成功）正面朝上的概率是多大。你表白你 的暗恋对象

15、，你希望知道要表白 3 次，心仪对象答应和你 手牵手的概率多大。）正如你上面看到的，几何分布和二项 分布只有第 4 点，也就是解决问题目的不同。这个点够不 够劲爆？（嘻嘻）3. 几何分布如何计算概率？用下面公式 就可以了：p为成功概率，即为了在第X次尝试取得第1次 成功，首先你要失败（X-1）次。假如在表白之前，你计算 出即使你尝试表白 3 次，在最后 1 次成功的概率还是小于 50%，还没有抛硬币的概率高。那你就要考虑换个追求对 象。或者首先提升下自己，提高自己每一次表白的概率， 比如别让自己的鼻毛长出来。我之前读书的一个师兄，每 天鼻毛长出来，看的我都恶心，何况其他人呢。几何分布的期望是E

16、(x)=1/p。代表什么意思呢？假如你每次 表白的成功概率是60%，同时你也符合几何分布的特点，所 以期望 E(x)=1/p=1/0.6=1.67 所以你可以期望自己表白1.67 次(约等于 2次)会成功。这样的期望让你信息倍增，起 码你不需要努力上 100 次才能成功，2次还是能做到的，有 必要尝试下。几何分布的标准差：第 3种泊松分布还是同 样的味道，还是同样的讨论，我们一起通过下面 3个问题 了解这个泊松分布。 1. 泊松分布有啥用？ 2. 如何判断是 不是泊松分布？ 3. 泊松分布如何计算概率？1. 泊松分布有啥用？如果你想知道某个时间范围内，发生 某件事情x次的概率是多大。这时候就可以用泊松分布轻松 搞定。比如一天内中奖的次数，一个月内某机器损坏的次 数等。知道这些事情的概率有啥用呢？当然是根据概率的 大小来做出决策了。比如你搞了个抽奖活动，最后算出来 一天内中奖10次的概率都超过了 90%，然后你顺便算了下 期望，再和你的活动成本比一下，发现要赔不少钱。那这 个