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1、习题3.11考察长为l的均匀细杆的导热问题，若（1）杆的两端温度保零度；（2）杆的两端均绝热；（3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热，而初始温度分布均为；试用分离变量法求解在这三种情况下的杆的导热问题的解。解：（1）该问题的数学模型为 其Step1：分离变量：令，代入齐次方程及齐次边界条件有：由于所以有：整理得 Step2：求解特征值问题讨论：若，则此时将代入得，于是 =0不合适，舍去。若时方程的特征方程为 将代入得 得C=-D=0 也不合适，舍去。若时方程的特征方程为 将代入有C=0将代入有 此时Step3：将代入关于的常微分方程有 其中待求。Step4：叠加由于所以： 综上知该热传导问题的解
2、为：其中 （2）该问题的数字模型为 其Step1：分离变量：令，并代入齐次方程及齐次边界条件中有：由于 故上面方程可化为所以有：整理得 Step2：求解下面的特征值问题讨论：若，则方程变为 这样 而 此时有 （取0即可）若时 则方程的特征方程为 C=-D=0 此时 不合适若时，方程的特征方程为 综上所述。该问题的特征值为 特征函数为 Step3：将代入关于的微分方程求有： Step4：叠加，原方程的解为： 其中 （3）该问题的数字模型为： 其中Step1：分离变量：令，代入齐次方程及齐次边界条件中有：由于 整理上面方程有所以有：整理得 Step2：求解下面的特征值问题讨论：若，则 这样 不合适
3、，舍去。若时 则方程的特征方程为 C=-D=0 这说明也不合适若时，方程的特征方程为 Step3：将代入关于的微分方程有：得 Step4：叠加，原方程的解为： 其中 2今有一弦，其两端被钉子钉紧作自由振动，其初始位移为：初速度为零，试求弦振动方程的解（其中h为常数）解：该问题的数字模型为由本节推导知：其中 又 ， ， 原方程的解为3求解下面的定解问题 （1）解：根据本节推可知（其中） ， ，(2)解：取Step1:分离变量：令并代入齐次方程和齐次边界条件有：由于 上面方程变形为整理有Step2:求解特征值问题由第1题知 ，Step3:将代入关于T（t）的微分方程其特征方程为，n=0,1,2,
4、Step4：叠加 ， 所以 ， n=0, 1, 2, 又 ， n=0, 1, 2, 原方程的解为 （3）解：令 则：由于 a=2，l=1，根据第1题结果有：其中 = （4）解：step1：分离变量，令，并代入齐次方程和齐次边界条件中有： 上面方程进行整理有： 即 由第1题知特征值为特征函数为，n=1,2,step3：将代入至于Y(y)的常微分方程有 其特征方程为 n=1,2, step4叠加：原方程的解为： ， 即 （1）又 即 （2）联立（1）、（2）有 原方程的解为4求阻尼波动问题的解解：Step1：分离变量，令，并代入齐次方程和齐次边界条件中有由于，于是上面方程变为：整理得下面的常微分方
5、程有：Step2：求解下面的特征值问题由第1题的结果有特征值为特征函数为Step3：将代入关于的常数分方程有：上式是关于的二阶常数系线性齐次常微分方程，其特征方程为，当时 其中，当时 当时 Step4：叠加当时 （1）又而， （2）（1）两边同乘有 （3）（2）-（3）得：（1）两边同乘以有 （4）（2）-（4）得：令 ， 则当时，原方程的解为其中，同理可得时，原方程有解：其中 ，当时，其中 ， 5均匀细杆长为，在固定，而另一端受着一个沿杆长方向的力，如果在开始一瞬间，突然停止这个力的作用，求杆的纵振动。解：假设细杆的左端点固定，于是该问题的数字桂型为：其中E为细杆的杨氏模量，为细杆的横截面积
6、Step1：分离变量：令，并代入齐次方程和齐次边界条件中有：，因为，故上面式子可变为（待常数）得常微分方程有：Step2：求解特征值问题由第1题的结果可知特征值为特征函数 n=0，1，2，Step3：将代入关于的常微分方程求。其特征根为 n=0，1，2，n=0，1，2，Step4：叠加：原方程的解为：其中得求 n=0，1，2，即 n=0，1，2，原方程的解为6长为2l的均匀细杆，被作用在两端的压力压缩式，在t=0时，把这个载荷移去，试证，若x=0是杆的中点，则在t时刻，坐标为x的杆的截面位移由下式确定：证明：参见第1章，该问题的数学模型为：Step1：分离变量：令并代入齐次方程和齐次边界条件有
7、，由于，故上面的方程可变为整理即得两个常微分方程Step2：求解特征值问题由第1题的结果有特征值为特征函数为 n=0，1，2，Step3：将代入关于的常微分方程求step4:叠加：原方程的解为 得 即原方程的解为 证毕7求下列高维高波动的解解：step1:分离变量：令代入齐次微分方程有：两边同除以有：要使上式成立，上式右边每一项必须是常数令且于是有4个常微分方程将分离变量后的式子代入齐次边界条件中有： ，Step2:求解特征值问题 得特征值为特征函数 m=1,2,3, 得特征值为特征函数为，n=1,2, 得特征值为特征函数为，l=1,2,step3:将代入关于T(t)的常微分方程。求T（t）有
8、：令则有：于是得step4:叠加，原方程的解为： 将代入有比较复数有又 对任意故原方程的解为8长为l的柱形管，一端封闭，另一端开放，管外空气中含有某种气体，其浓度为，向管内扩散，求解该气体在管内的浓度解：令 则 图4-8这样的边界条件变成齐次的了。它的本征函数是即的解为 9求解杆的横振动问题解：step1:分离变量，令 （5）代入方程（1）和边齐条件（2），（3）有即（待求常数）于是得 step2:求解特征值问题计论：若则代入（7）有代入（8）有： 于是得即当时 故若时，则（6）有通解由（7）式有： 得故由（8）式有 求解上面式子得 即特征函数为将代入关于的常微分方程有：，从而有代入初始条件（
9、4）有：，同理可讨论时也有同样的结果。10边长为b的方形薄膜，边缘固定，开始时膜上各点的位移为，（A为常数），求它从静止开始的自由振动情况。解：该问题的数字模型为：解：Step1：分离变量，令代入齐次方程及齐次边齐条件有：两边同除以得分析可知上式在端两项必须是常数令得3个常微分方程代入齐次边齐条件中有S+ep2：求特征值得特征值为特征函数得特征值为特征函数Step3：将代入关于的常微分方程有：特征方程为 Step4：叠加，原方程的解为：又原方程的解为11求量子力系中满足如下薛定谔方程的定解问题处于一无限维深势阱中粒子的状态：解：Step1：分离量令则（1）变为即（能量）于是得：将（4）代入边界条件有： （7）step2：求特征值及特征函数令 ，则（6）变为 （6）讨论：若，则由（7）有于是有，从而，所以若时，则（6）有而由（7）有故有，从而，所以不合适若，则由（6）有 （8）由（7）有： 于是有 ，显然 c1，c2不能同时为0。（1）若，则 k=1,2, （9）此时 c1=0于是有
